Centre (géométrie)

Lorsque l'objet est invariant par une unique symétrie centrale, le centre de l'objet est le centre de cette symétrie.

Dans le plan, on trouve dans ce cas les segments de droite, les cercles et les disques, les carrés, et plus généralement les polygones réguliers avec un nombre pair de sommets, les rectangles et les losanges, et plus généralement les parallélogrammes, les ellipses et les hyperboles (dites "coniques à centre").

Exemples de courbes à symétrie centrale :

• les courbes d'équation cartésienne ${\displaystyle f(x,y)=0}$ avec ${\displaystyle f(-x,-y)=\pm f(x,y)}$, par exemple si ${\displaystyle f}$ est polynomiale homogène,
• les courbes paramétrées ${\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}}$ avec ${\displaystyle f,g}$ antipériodiques (${\displaystyle f(t+T)=-f(t),g(t+T)=-g(t)}$),
• les courbes d'équation polaire ${\displaystyle f(\rho ,\theta )=0}$ avec ${\displaystyle f(-\rho ,\theta )=f(\rho ,\theta )}$ ou ${\displaystyle f(\rho ,\theta +\pi )=f(\rho ,\theta )}$.

La spirale de Fermat, d'équation polaire ${\displaystyle \rho ^{2}=\theta }$ possède un centre de symétrie.

Dans l'espace, on trouve les sphères et les boules (associées à une norme), les parallélépipèdes, les quadriques à centre.

Dans le plan, lorsque le groupe des rotations laissant l'objet globalement invariant n'est pas réduit à l'identité et est formé de rotations de même centre, le centre de l'objet est le centre commun à ces rotations.

En particulier, un objet plan ayant exactement ${\displaystyle n\geqslant 2}$ axes de symétrie concourants est à symétrie de rotation.

Les symétries centrales étant des rotations d'angle plat, ce cas englobe le précédent, mais on y trouve cette fois tous les polygones réguliers, dont le triangle équilatéral.

Dans l'espace, lorsque le groupe des déplacements laissant l'objet globalement invariant est formé de rotations d'axes concourants, le centre de l'objet est le point de concours de ces axes. On trouve dans ce cas tous les polyèdres réguliers.

Cette notion se généralise en dimension quelconque pour un groupe des déplacements de l'objet tel qu'il existe un unique point invariant par toutes les isométries du groupe.

Dans les autres cas que les précédents, on peut trouver plusieurs définitions concurrentes de la notion de centre, et un objet peut ne pas avoir de centre si aucune méthode n'en permet la détermination.

Centre de gravité ou isobarycentre

Ce centre est toujours défini pour un ensemble fini non vide. Il est aussi défini pour une courbe rectifiable, une surface quarrable, ou un corps cubable.

L'isobarycentre d'un objet à symétrie centrale est son centre de symétrie.

Cercle circonscrit à une représentation de la France, avec son centre.

Centre du cercle circonscrit ou de la sphère circonscrite

Pour un ensemble fermé borné du plan, il existe un unique cercle de rayon minimal englobant l'ensemble. Son centre est le point pour lequel la plus grande distance à un point de l'ensemble est la plus petite possible. Ce cercle minimum est en général dénommé cercle circonscrit, sauf dans le cas d'un triangle obtus où le cercle minimum est le cercle de diamètre le plus grand côté.

Cette notion généralise celle de centre d'un objet à symétrie de rotation.

Cercle inscrit dans une représentation de la frontière française, avec son centre.

• Centre de masse
• Centre géographique
• Problème du plus grand cercle vide
• Problème du cercle minimum
• Centre du triangle

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centre (geometry » (voir la liste des auteurs).