Disque (géométrie)

En coordonnées cartésiennes, le disque ouvert de centre ${\displaystyle (a,b)}$ et de rayon R est défini par la formule[1]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

tandis que le disque fermé de même centre et de même rayon est donné par

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$

L'aire d'un disque de rayon r est égale à πr².

L'aire d'un secteur circulaire de ce disque est proportionnelle à l'angle α qui le tend ; si cet angle est exprimé en radians (un tour complet correspond à 2π radians) l'aire du secteur vaut donc

${\displaystyle {\frac {\alpha }{2\pi }}\pi r^{2}=\alpha {\frac {r^{2}}{2}}}$.

L'aire d'un segment circulaire sous-tendu par un angle α (superficie délimitée par la corde et l'arc sous-tendus par cet angle) est égale à (α - sin(α)) r²/2.

Le périmètre d'un disque de rayon r est égal à ${\displaystyle 2\pi r}$.

Le disque est la réponse à la question isopérimétrique dans le plan euclidien, c'est-à-dire que pour un périmètre donné, le disque est la figure qui possède la plus grande surface.