Segment circulaire

En géométrie, un segment circulaire est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du disque par une corde (droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre la droite sécante et un arc.

Un segment circulaire est coloré en vert.

Soient (voir figure) :

$R$ le rayon du cercle ;
$\theta$ l'angle en radians du secteur circulaire ;
$s$ la longueur de l'arc ;
$c$ la longueur de la corde ;
$h$ la hauteur du segment ;
$d$ la hauteur de la portion triangulaire.

Alors :

la longueur de l'arc est $s=R\theta$ ;
la longueur de la corde est $c=2R\sin(\theta /2)=2d\tan(\theta /2)=2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=2{\sqrt {2hR-h^{2}}}$ ;
la hauteur de la portion triangulaire est $d=R\cos(\theta /2)={\frac {c}{2}}\cot(\theta /2)={\frac {1}{2}}{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}$ ;
la hauteur (ou flèche) est $h=R-d=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)$ ;
l'aire est $A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$ .

Démonstration de la formule de l'aire

L'aire totale de la portion de disque vaut $S={\frac {\theta }{2}}R^{2}$ . Elle peut également s'exprimer comme la somme de deux aires : celle, $A$ , du segment circulaire (en vert) et celle, $A_{1}$ , du triangle constituant l'autre partie. On a donc :

A=S-A_{1}

L'aire du triangle vaut :

A_{1}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }

du fait des formules de l'angle double.

Finalement, on trouve : $A=S-A_{1}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })$ .

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Circular Segment », sur MathWorld

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