Équation cartésienne

Dans un espace à n dimensions, une équation cartésienne est par exemple de la forme f(x) = 0, où f est une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Dans le plan (n = 2), l'équation s'écrit f(x, y) = 0.
• Dans l'espace ordinaire (n = 3), l'équation s'écrit f(x, y, z) = 0.

• Équation d'une droite : a x + b y + c = 0, où a, b et c sont des constantes réelles. Un vecteur directeur de cette droite est ${\displaystyle {\vec {u}}}$(–b ; a) ; un vecteur orthogonal est ${\displaystyle {\vec {v}}}$(a ; b). Si c = 0 la droite passe par l'origine. Si a = 0 elle est parallèle à l'axe Ox, sinon elle le croise au point (–c/a, -0) ; si b = 0 elle est parallèle à l'axe Oy, sinon elle le croise au point (0, –c/b).
• Équation du cercle de centre (x₀, y₀) et de rayon R : (x − x₀)² + (y − y₀)² = R².
• Équation d'une ellipse dont les axes de symétrie sont parallèles à ceux du repère : ${\displaystyle \left({\frac {x-x_{0}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-y_{0}}{b}}\right)^{2}=1}$, où x₀, y₀, a et b sont des constantes réelles (a et b étant non nuls, et généralement choisis positifs). Cette ellipse a pour centre le point (x₀, y₀), et pour demi-axes |a| et |b|.

• Équation d'un plan : a x + b y + c z + d = 0. Ce plan est orthogonal au vecteur ${\displaystyle {\vec {v}}}$(a ; b ; c). Si a = 0 il est parallèle à l'axe Ox, sinon il coupe cet axe au point (–d/a, 0, 0) ; si b = 0 il est parallèle à l'axe Oy, sinon il coupe cet axe au point (0, –d/b, 0) ; si c = 0 il est parallèle à l'axe Oz, sinon il coupe cet axe au point (0, 0, –d/c).
• Équation de la sphère de centre (x₀, y₀, z₀) et de rayon R : (x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = R².

Une courbe dans l'espace peut être définie comme l'intersection de deux surfaces, donc par deux équations cartésiennes. Une droite dans l'espace sera ainsi définie comme l'intersection de deux plans, donc par deux équations de plan.

• Géométrie vectorielle
• Repérage dans le plan et dans l'espace
• Fonction implicite
• Représentation paramétrique