Fonction implicite

• Considérons l'équation ${\displaystyle x^{5}-x^{4}y+y^{3}-x^{2}y^{6}=0}$. Les points de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}}$ dont les coordonnées vérifient cette équation forment une courbe ${\displaystyle \Gamma }$ qui passe par le point ${\displaystyle (1,1)}$. Est-ce que ${\displaystyle \Gamma }$ possède une tangente en ce point? Si oui, comment la trouver ? C'est ce genre de problèmes auxquels on s'intéresse[1] - [2] - [3].
• L'équation ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2\,(x^{2}-y^{2})}$ est associée à la lemniscate de Bernoulli.

courbe algébrique

• l'équation x² + y² = 1 ne définit pas de fonction implicite pour y quelconque, mais pour y positif, cette équation est équivalente à y = √1 - x² et φ : x → √1 - x² est la fonction explicite associée à l'équation.
• l'équation x² + y² + ln z = 0 permet de définir la fonction implicite φ : (x,y) → exp(-x² - y²).

• L'équation ${\displaystyle y^{5}-4y^{4}+4xy^{2}-x^{2}=0}$ définit ${\displaystyle y}$ comme fonction implicite de ${\displaystyle x}$. On ne sait pas exprimer cette fonction explicitement à l'aide de fonctions élémentaires[1]. Par contre, on peut exprimer ${\displaystyle x}$ en fonction de ${\displaystyle y}$ : on a ${\displaystyle x=2y^{2}\mp y^{5/2}}$.
• si f est une bijection de E vers F, l'équation y = f(x) induit une fonction implicite de F vers E appelée application réciproque et notée f ⁻¹.

Il est parfois possible et plus simple de dériver une fonction implicite sous sa forme non explicite.

Si f est une fonction numérique de deux variables réelles, continue au voisinage de (x₀ , y₀) et différentiable en (x₀ , y₀), et si la dérivée partielle de f par rapport à la seconde variable est continue et ne s'annule pas en (x₀ , y₀), la dérivée de φ en x₀ est[4]:

${\displaystyle \varphi '(x_{0})=-{\frac {f_{x}'(x_{0},y_{0})}{f_{y}'(x_{0},y_{0})}}.}$

Cette formule peut s'expliquer[5] en remarquant que le gradient de f en (x₀ , y₀) a pour coordonnées : ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~f(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}f_{x}'(x_{0},y_{0})\\f_{y}'(x_{0},y_{0})\end{pmatrix}}}$

et indique la direction de plus forte variation de f, tandis que le vecteur ${\displaystyle N={\begin{pmatrix}1\\-{\frac {f_{x}'(x_{0},y_{0})}{f_{y}'(x_{0},y_{0})}}\end{pmatrix}}}$ qui lui est normal indique la direction de variation nulle, c'est-à-dire la direction de la tangente à la courbe d'équation f(x,y) = 0.

Exemple[6] - [7] : l'équation x² + y² = 1 est associée à la fonction f : (x,y) → x² + y² - 1 qui est de classe C¹, c'est-à-dire qu'elle est différentiable de différentielle continue. Comme ${\displaystyle f_{x}'(x_{0},y_{0})=2x_{0}}$ et ${\displaystyle f_{y}'(x_{0},y_{0})=2y_{0}}$, pour tout point (x₀ , y₀)${\displaystyle \neq (-1,0),(1,0)}$, on a ${\displaystyle \varphi '(x_{0})=-{\frac {2x_{0}}{2y_{0}}}=-{\frac {x_{0}}{\sqrt {1-x_{0}^{2}}}}.}$

Une telle dérivation peut être utile dans le cas où la fonction est impossible à expliciter

Exemple : L'équation y⁵ + x²y + 2 = 0 est associée à une fonction f de classe C¹. Le graphe de l'équation est celui d'une fonction car, pour tout valeur de x, il existe au plus une valeur de y rendant vraie l'égalité. Comme ${\displaystyle f_{x}'(x_{0},y_{0})=2x_{0}y_{0}}$ et ${\displaystyle f_{y}'(x_{0},y_{0})=5y_{0}^{4}+x_{0}^{2}}$ pour tout point (x₀ , y₀), avec y₀ = φ(x₀), on a ${\displaystyle \varphi '(x_{0})=-{\frac {2x_{0}y_{0}}{5y_{0}^{4}+x_{0}^{2}}}.}$ En particulier, pour x0 = 1 et y0 = –1, φ' (1) = 1/3

• Équation cartésienne

• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques : Analyse, t. 2, Dunod, 1977