Fonction élémentaire

Certains exemples de fonctions élémentaires sont :

• addition, ex. : x + 3 ;
• multiplication, ex. : 8x ;
• ${\displaystyle \left(x+\sin ^{2}x\right)^{2}\left({\dfrac {\sin(x^{2})+x}{\sin(x^{3})}}\right)~;}$
• ${\displaystyle -{\rm {i}}\ln(x+{\rm {i}}{\sqrt {1-x^{2}}}).}$

Deux exemples de fonctions non élémentaires sont la fonction d'erreur de Gauss

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$

et la fonction sinus intégral

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\mathrm {d} t.}$

Ce fait résulte du théorème de Liouville ; l'algorithme de Risch permet en général de déterminer si une fonction élémentaire donnée possède ou non une primitive élémentaire.

• Joseph Liouville, « Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal de l'École Polytechnique, vol. tome XIV,‎ 1833a, p. 124-148 (lire en ligne).
• Joseph Liouville, « Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal de l'École Polytechnique, vol. tome XIV,‎ 1833b, p. 149-193 (lire en ligne).
• Joseph Liouville, « Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 10,‎ 1833c, p. 347-359 (lire en ligne).
• Joseph Ritt, Differential Algebra, AMS, 1950 (lire en ligne).
• Maxwell Rosenlicht, « Integration in finite terms », American Mathematical Monthly, vol. 79, n^o 9,‎ 1972, p. 963–972 (DOI 10.2307/2318066, JSTOR 2318066).

• Fonction liouvillienne
• Théorème de Liouville (algèbre différentielle)