Fonction liouvillienne

Partant de l'ensemble ${\displaystyle F_{0}}$ des fonctions élémentaires (fonctions à valeurs complexes d'une variable réelle) on construit successivement des ensembles ${\displaystyle F_{n}}$ (avec ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) en appelant ${\displaystyle I_{n}}$ l'ensemble des primitives de ${\displaystyle F_{n}}$, puis en appliquant à ${\displaystyle F_{n}\cup I_{n}}$ les opérations définissant les fonctions élémentaires (clôture algébrique et clôture par composition), obtenant ${\displaystyle F_{n+1}}$ ; les fonctions liouvilliennes sont celles appartenant à la réunion des ${\displaystyle F_{n}}$.

Plus généralement, on peut prendre comme corps de base un corps différentiel ${\displaystyle K}$ quelconque (la définition précédente prend pour ${\displaystyle K}$ le corps ${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$ des fractions rationnelles à coefficients complexes), et en introduisant à chaque étape de la construction de nouvelles fonctions « primitives » des précédentes (${\displaystyle g}$ est une primitive de ${\displaystyle f}$ si ${\displaystyle \partial g=f}$, où ${\displaystyle \partial }$ est l'opérateur de dérivation) ; la théorie algébrique correspondante, appelée algèbre différentielle (en), permet en particulier de démontrer que certaines fonctions ne sont pas liouvilliennes, en généralisant le théorème analogue sur les primitives de fonctions élémentaires.

Par définition, toutes les fonctions élémentaires et leurs primitives sont liouvilliennes, en particulier les fonctions spéciales Si (sinus intégral) et Li (logarithme intégral) ou encore la fonction d'erreur ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$.

On voit facilement par récurrence que toutes les fonctions liouvilliennes sont solutions d'équations différentielles algébriques (en), mais la réciproque est fausse : en dehors de quelques cas particuliers, les fonctions de Bessel et les fonctions hypergéométriques ne sont pas liouvilliennes[2]. A fortiori, les fonctions hypertranscendantes (en), comme la fonction gamma (c'est le théorème de Hölder) ou la fonction zêta, ne sont pas liouvilliennes.

• Expression de forme fermée
• Théorie de Galois différentielle

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouvillian fonction » (voir la liste des auteurs).

• J. H. Davenport, Towards Mechanized Mathematical Assistants, Berlin/Heidelberg, Springer, 2007, 55–65 (ISBN 3-540-73083-4, lire en ligne ), « What Might ‘Understand a Function’ Mean »