Logarithme intégral

Quand x tend vers +∞, on a l'équivalence ${\displaystyle {\rm {li}}(x)\sim {x \over \ln(x)},}$ c'est-à-dire que ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\rm {li}}(x)\cdot {\frac {\ln(x)}{x}}=1.}$

D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers π(x) est équivalente à x/ln(x), donc à li(x), qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.

La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation li(x) = Ei (ln (x)) pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1. Ceci mène aux développements en séries de li(x), comme : ${\displaystyle {\rm {pour}}\;u\neq 0\;,\quad {\rm {li}}(e^{u})={\rm {Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!},}$ où γ ≈ 0,577 est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit le développement au voisinage de 1 du logarithme intégral : ${\displaystyle {\rm {li(1+u)={\rm {Ei}}(\ln(1+u))=\ln |u|+\gamma +{\frac {1}{2}}u+o(u)}}}$.

La fonction li a une seule racine, elle se trouve en x ≈ 1,451 ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Li(x) très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (2)=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}}$

Une valeur approchée de li(2) est 1,045 163 8[1] - [2], alors que Li(2) = 0.

On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier n, on a le développement asymptotique suivant à l'infini de Li (donc aussi de li) : ${\displaystyle {\rm {Li}}(x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}+o\left({\frac {x}{(\ln x)^{n+1}}}\right).}$

Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.

Comme dit dans la section « Équivalent », le théorème des nombres premiers établit que:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

où ${\displaystyle \pi (x)}$ exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à ${\displaystyle x}$.

Avec l'hypothèse de Riemann, l'estimation suivante plus forte est possible[3] :

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-\pi (x)=O({\sqrt {x}}\log x)}$

Pour des petits ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$, mais on sait, indépendamment de l'hypothèse de Riemann, que cette différence change de signe un nombre infini de fois quand ${\displaystyle x}$ augmente. La première occurrence devrait survenir[4] au voisinage de 1.4×10³¹⁶.