Intégration par parties

La formule-type est la suivante, où ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

.

ou encore, puisque ${\displaystyle u'(x)\,\mathrm {d} x}$ et ${\displaystyle v'(x)\,\mathrm {d} x}$ sont respectivement les différentielles de ${\displaystyle u}$ et de ${\displaystyle v}$ :

${\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u}$.

L'un des deux choix possibles pour les fonctions u et v' peut s'avérer meilleur que l'autre.

${\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x}$.

Si l'on choisit u = ln et v' (x) = x, on a u' (x) = 1/x et l'on peut prendre v(x) = x²/2, d'où :

${\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}}$.

En revanche, si l'on choisit u(x) = x et v' = ln, on a u' = 1 et l'on peut prendre v(x) = xln(x) – x, d'où :

${\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[x(x\ln x-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln x-x)\,\mathrm {d} x}$.

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale, elle s'y ramène cependant puisque ${\displaystyle \int _{1}^{2}(x\ln x-x)\,\mathrm {d} x=I-3/2}$.

• Effectuons le calcul de${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x}$grâce à une intégration par parties.
  Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, de telle sorte que v = sin, par exemple (c.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}-{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

• Il s'agit de la méthode classique[1] pour trouver une primitive du logarithme naturel :${\displaystyle \int _{\mathrm {e} }^{x}\ln t\,\mathrm {d} t=x\ln x-x}$.
• Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
• Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer[1] que${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}}+C}$et de même,${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\cos x\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x+\cos x\right)}{2}}+C}$,où le réel C est une constante d'intégration.

Cette méthode également nommée «DI method» en anglais consiste à tracer un tableau avec trois colonnes, une colonne de signes + et - alternés, une colonne D et une colonne I, avec dans la colonne D des dérivations successives et dans la colonne I des intégrations successives. Cette méthode se base sur l'intégration par parties, et est surtout utile lorsqu'il s'agit de réaliser des intégrations par parties successives. Elle est présentée dans le livre[2] de Thomas et Finney, ainsi que dans un papier librement accessible[3]. Cette méthode est sensée réduire les erreurs et réduire les étapes de calcul. Il y a 3 critères d'arrêts : soit une ligne du tableau comporte un 0, soit une ligne du tableau est identique à la première ligne (à des facteurs numériques près), soit le produit d'une ligne du tableau est facilement intégrable[4].

Les produits s'effectuent suivant une diagonale. Ainsi, pour intégrer ${\displaystyle x\mapsto x^{3}\cos x}$, on peut construire le tableau suivant:

Étapes	+/-	Dérivées (D)	Primitives (I)		Produits
0		${\displaystyle x^{3}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle 3x^{2}}$	${\displaystyle \sin x}$		${\displaystyle x^{3}\sin(x)}$
2	+	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle -\cos x}$		${\displaystyle +3x^{2}\cos(x)}$
3	−	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -\sin x}$		${\displaystyle -6x\sin(x)}$
4	+	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \cos x}$		${\displaystyle -6\cos(x)}$

${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,\mathrm {d} x=x^{3}\sin(x)+3x^{2}\cos(x)-6x\sin(x)-6\cos(x)+C}$

Un même type de tableau peut s'utiliser pour une intégration par parties qui boucle :

Étapes	+/-	Dérivées	Primitives		Produits
0		${\displaystyle \mathrm {e} ^{2x}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle \mathrm {2} e^{2x}}$	${\displaystyle \sin x}$		${\displaystyle \mathrm {e} ^{2x}\sin(x)}$
2	+	${\displaystyle \mathrm {4} e^{2x}}$	${\displaystyle -\cos x}$		${\displaystyle +\mathrm {2} e^{2x}\cos(x)}$ (ça boucle)

• ${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{2x}\cos x\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{2x}\sin(x)+\mathrm {2} e^{2x}\cos(x)+\int -\mathrm {4} e^{2x}\cos(x)\,\mathrm {d} x}$
• ${\displaystyle 5\int \mathrm {e} ^{2x}\cos x\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{2x}\sin(x)+\mathrm {2} e^{2x}\cos(x)+C}$

• On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C¹ par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
• Plus généralement, si u et v sont n fois différentiables et si leurs dérivées n-ièmes sont réglées, on dispose de la « formule d'intégration par parties d'ordre n »[5] :

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v^{(n)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k-1)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n}\int _{a}^{b}u^{(n)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x}$.

• Si, sur [a, b], u est absolument continue et g est intégrable, alors

${\displaystyle \int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v}$,

pour toute fonction v telle que

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g}$.

La démonstration[6] est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv.

L'intégration par parties peut être étendue aux fonctions de plusieurs variables en appliquant une version appropriée du théorème fondamentale de l'analyse (par exemple une conséquence du théorème de Stokes comme le théorème du gradient ou le théorème de la divergence) à une opération généralisant la règle de dérivation d'un produit.

Il existe donc de nombreuses versions d'intégrations par parties concernant les fonctions à plusieurs variables, pouvant faire intervenir des fonctions à valeurs scalaires ou bien des fonctions à valeurs vectorielles.

Certaines de ces intégrations par parties sont appelées identités de Green.

J.-C. Michel, « L'intégration par parties », Nombreux exemples d'intégration par parties bien détaillés, sur gecif.net