Intégration de Lebesgue-Stieltjes

L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

est définie pour  ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ Borel-mesurable et bornée et  ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ à variation bornée sur [a, b] et continue à droite, ou si  f  positive et g monotone et continue à droite. On supposera d'abord  f  positive et g croissante et continue à droite. On définit w sur les intervalles : w(]s, t]) = g(t) − g(s) et w({a}) = 0 (si g est continue à gauche, on pourra poser w([s,t)) = g(t) − g(s) et w({b}) = 0).

Par le théorème d'extension de Carathéodory, il existe une unique mesure de Borel μ_g sur [a, b] égale à w sur tout intervalle I. La mesure μ_g émerge d'une mesure extérieure (en fait, une mesure métrique définie par

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}w(I_{i})\$ :\ E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}}

l'infimum étant pris sur tous les recouvrements de E par des intervalles semi-ouverts dénombrables. Cette mesure est parfois appelée[1] la mesure de Lebesgue–Stieltjes associée avec g.

L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

est définie comme l'intégrale de Lebesgue de  f  selon la mesure μ_g classique. Si g est décroissante, on pose

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} (-g)(x),}$

et on revient à la définition précédente.

Si g est à variation bornée et  f  est bornée, il est possible d'écrire

${\displaystyle \mathrm {d} g(x)=\mathrm {d} g_{1}(x)-\mathrm {d} g_{2}(x)}$

où g₁(x) = V x
ag est la variation totale de g sur l'intervalle [a, x], et g₂(x) = g₁(x) − g(x). Les fonctions g₁ et g₂ sont toutes deux monotones croissantes. Alors l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes selon g est définie par

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g_{2}(x),}$

avec les deux intégrales définies selon les constructions précédentes.

Supposons  γ : [a, b] → R² un arc rectifiable sur le plan et  ρ : R² → [0, ∞[ une fonction Borel-mesurable. Alors on peut définir la longueur de γ selon la métrique euclidienne pondérée par ρ par

${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,\mathrm {d} \ell (t),}$

avec ${\displaystyle \ell (t)}$ la longueur de la restriction de γ sur [a, t]. On appelle parfois cette valeur la ρ-longueur de γ. Cette notion est utile pour plusieurs applications : par exemple, dans un terrain boueux, la vitesse à laquelle une personne peut se déplacer va dépendre de la profondeur de boue. Si  ρ(z) désigne l'inverse de la vitesse de marche proche de z, alors la ρ-longueur de γ est le temps nécessaire à traverser γ. Le concept de longueur extrémale (en) utilise cette notion de ρ-longueur de courbes et utilisé dans l'étude des applications conformes.

Une fonction  f  est dite "régulière" au point a si les limites à gauche et à droite  f (a+) et  f (a−) existent, et la fonction prend alors en a la valeur moyenne

${\displaystyle f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.}$

Soient deux fonctions U et V de variation finie, si en tout point au moins une des deux fonctions entre U et V est continue ou U et V sont régulières, alors on peut définir une intégration par parties pour l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes[2]

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,\mathrm {d} V+\int _{a}^{b}V\,\mathrm {d} U=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<+\infty .}$

Ici, les mesures de Lebesgue–Stieltjes pertinentes sont associées aux versions continues à droite de U et V ; soit en utilisant ${\displaystyle {\widetilde {U}}(x)=\lim _{t\to x+}U(t)}$ et, de façon similaire, ${\displaystyle {\widetilde {V}}(x).}$ L'intervalle borné (a,b) peut être remplacé par un intervalle non borné ]-∞,b), (a,+∞[ ou ]-∞,+∞[ tant que U et V sont de variations finies sur cet intervalle non borné. On peut même étendre aux fonctions à valeurs complexes.

On a également un résultat alternatif d'importance significative en calcul stochastique : pour deux fonctions U et V de variations finies, toutes deux continues à droite et ont des limites à gauche (on parle de fonctions càdlàg) alors on a

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,\mathrm {d} V(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,\mathrm {d} U(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},}$

avec ΔU_t = U(t) − U(t−).

Ce résultat peut être vu comme un précurseur du lemme d'Itô, et trouve son application dans la théorie de l'intégration stochastique. Le terme final vaut ΔU(t)ΔV(t) = d[U, V], qui apparait dans la covariation quadratique de U et V. (Le résultat précédent peut être vu comme une proposition précédant l'intégrale de Stratonovich).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lebesgue–Stieltjes integration » (voir la liste des auteurs).

• (en) Paul R. Halmos, Measure Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1974 (ISBN 978-0-387-90088-9, lire en ligne )
• (en) Edwin Hewitt et Karl Stromberg, Real and abstract analysis, Springer-Verlag, 1965.
• (en) Stanislaw Saks, Theory of the Integral, 1937 (lire en ligne)
• (en) G.E. Shilov et B.L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications, 1978 (ISBN 0-486-63519-8).