Théorie de la mesure

Soit ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {E}},\mu )}$ un espace mesuré. Si ${\displaystyle f}$ est une fonction mesurable, l'intégrale de ${\displaystyle f}$ selon ${\displaystyle \mu }$ s'écrit :

${\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,{\textrm {d}}\mu (x)}$ ou ${\displaystyle \displaystyle \int _{\Omega }f\,{\textrm {d}}\mu }$

Lorsque la mesure représente l'intégrale d'une fonction, on parle de mesure à densité :

${\displaystyle \displaystyle \forall A\in {\mathcal {E}}\quad \nu (A)=\int _{A}g\,{\textrm {d}}\mu }$

Lorsque ${\displaystyle \mu }$ est une mesure positive et ${\displaystyle g}$ une fonction mesurable positive (i.e. ${\displaystyle \nu }$ est une mesure positive), on a, pour toute fonction mesurable positive ${\displaystyle f}$, par le théorème de convergence monotone :

${\displaystyle \displaystyle \forall A\in {\mathcal {E}}\quad \int _{A}f{\textrm {d}}\nu =\int _{A}fg\,{\textrm {d}}\mu }$

Ce résultat s'étend aux fonctions ${\displaystyle \nu }$-intégrables par définition de ces dernières.

Un corollaire du théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue donne que, si ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ sont deux mesures positives ${\displaystyle \sigma }$-finies telles que ${\displaystyle \nu }$ est absolument continue par rapport à ${\displaystyle \mu }$, alors ${\displaystyle \nu }$ est une mesure à densité par rapport à ${\displaystyle \mu }$.

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
• A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Paris, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, (ISBN 2-7298-9550-7).