Mesure sigma-finie

Soit $(X, Σ, μ)$ un espace mesuré. On dit que la mesure $μ$ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de $X$ par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite $(E n$ )_{$n \in$ ℕ} d'éléments de la tribu $Σ$ , tous de mesure finie, avec

X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}.

Exemples

Mesure finie
Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable
Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles $[k,k+1)$ pour tous les nombres entiers $k\in \mathbb {Z}$ est un recouvrement dénombrable de $\mathbb {R}$ , et chacun des intervalles est de mesure 1.

Plus généralement, mesure de Haar sur un groupe localement compact σ-compact

Propriétés

En remplaçant E_n par F_n = E₀ ∪ … ∪ E_n, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc $μ(X) = lim μ(F n)$ .
En remplaçant F_n par G_n = F_n\F_{n – 1}, on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que $(E n$ )_{$n \in$ ℕ} et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc $μ(X) = \sum n \in ℕ μ(G n)$ .
Si Y est un élément de Σ, la restriction de $μ$ à Y est encore σ-finie.

Usages

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