Mesure extérieure

Soit ${\displaystyle X}$ un ensemble. Une mesure extérieure sur ${\displaystyle X}$ est une fonction définie sur l'ensemble de toutes les parties de ${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,+\infty ]}

qui vérifie les trois conditions suivantes :

• L'ensemble vide est de mesure extérieure nulle :

${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$

• Monotonie : Pour toutes parties ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle A\subset B\quad \Rightarrow \quad \varphi (A)\leq \varphi (B).}$

• Sous-additivité dénombrable : Pour toute suite ${\displaystyle (A_{j})_{j\geq 1}}$ de parties de ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j}).}$

Lorsque l'on dispose d'une mesure extérieure sur un ensemble ${\displaystyle X}$, on peut en déduire une mesure définie sur un sous-ensemble ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ de l'ensemble des parties de ${\displaystyle X}$; ce sous-ensemble ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est alors une tribu (ou σ-algèbre) sur ${\displaystyle X}$.

Soit en effet ${\displaystyle \phi }$ une mesure extérieure définie sur ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$. Définissons ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ comme l'ensemble des parties ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle X}$ satisfaisant la condition suivante:

• ${\displaystyle \forall F\subseteq X,\phi (F)=\phi (F\cap E)+\phi (F\backslash E)}$

En somme, une partie de ${\displaystyle X}$ est dans ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ si et seulement si elle divise toute partie ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle X}$ de manière additive du point de vue de la mesure extérieure ${\displaystyle \phi }$.

On montre que l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ainsi défini est une tribu sur ${\displaystyle X}$.

On définit alors ${\displaystyle \mu }$ comme la restriction de ${\displaystyle \phi }$ à ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. On montre que ${\displaystyle \mu }$ est une mesure sur l'espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, c'est-à-dire que la propriété de sous-additivité dénombrable de la mesure extérieure devient une additivité dénombrable, lorsque la famille de parties concernées sont deux à deux disjointes.

(en) Vladimir Bogachev, Measure Theory, Berlin, Springer, 2007, 575 p. (ISBN 978-3-540-34513-8 et 3-540-34513-2), p. 41