Càdlàg

Les fonctions de répartition sont des exemples de fonctions càdlàg.

Soient (M,d) un espace métrique et E ⊆ R un sous-ensemble de nombres réels. Une fonction ƒ: E → M est une fonction càdlàg si pour tout t ∈ E,

• la limite à gauche définie par ƒ(t−) := lim_s↑t ƒ(s):= lim_{s→t, s<t} ƒ(s) existe; et
• la limite à droite définie par ƒ(t+) := lim_s↓t ƒ(s):= lim_{s→t, s>t} ƒ(s) existe et est égale à ƒ(t).

La limite utilisée ici est celle définie par la métrique d.

• Les fonctions continues sont des fonctions càdlàg.
• Les fonctions de répartition sont des fonctions càdlàg.
• les trajectoires d'un processus de Lévy sont des trajectoires càdlàg.

L'ensemble des fonctions càdlàg de E dans M est souvent noté D(E; M) et est appelé l'espace de Skorokhod en référence au mathématicien ukrainien Anatoliy Skorokhod. L'espace de Skorokhod peut être muni d'une topologie qui, intuitivement, permet de "tordre" un petit peu le temps et l'espace (alors que la topologie traditionnelle de la convergence uniforme permet de "tordre" l'espace un petit peu). Pour simplifier, restreignons-nous à E = [0, T] et M = Rⁿ (voir Billingsley pour des cas plus généraux).

Définissons d'abord un analogue, que l'on note ϖ′_ƒ(δ), du module de continuité. Pour tout sous-ensemble F ⊆ E, on pose

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

et, pour δ > 0, définissons le module càdlàg par

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi _{\delta }}\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

où l'infimum est pris sur l'ensemble des partitions Π_δ = {(t₀,t₁,...,t_k), tel que 0 = t₀ < t₁ < … < t_k = T, k ∈ N et min_i (t_i − t_i−1) > δ}. Cette définition reste valable pour des fonctions non-càdlàg (de même que le module de continuité usuel est valable pour les fonctions non-continues). On peut montrer que ƒ est càdlàg si et seulement si ϖ′_ƒ(δ) → 0 quand δ → 0.

Notons Λ l'ensemble des bijections continues strictement croissantes de E dans lui-même. Notons également

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

la norme uniforme des fonctions sur E. Définissons la métrique de Skorokhod σ sur D(E; M) par

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}$

où I: E → E est la fonction identité. La notion intuitive de "tordue" en temps est mesurée par |λ − I| ; de même, |ƒ − g○λ| mesure la taille de la "torsion" en espace.

On peut montrer que cette métrique de Skorokhod est une vraie métrique. La topologie Σ engendrée par σ est appelée topologie de Skorokhod sur D(E; M).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Càdlàg » (voir la liste des auteurs).
• (en) Billingsley, Patrick, Probability and Measure, New York, NY, John Wiley & Sons, Inc., 1995, 3^e éd., 608 p. (ISBN 978-0-471-00710-4, LCCN 94028500)
• (en) Billingsley, Patrick, Convergence of Probability Measures, New York, NY, John Wiley & Sons, Inc., 1999, 2^e éd., 296 p. (ISBN 978-0-471-19745-4, LCCN 99030372)