AccueilđŸ‡«đŸ‡·Chercher

Processus stochastique

Un processus stochastique ou processus alĂ©atoire (voir Calcul stochastique) ou fonction alĂ©atoire (voir ProbabilitĂ©) reprĂ©sente une Ă©volution, discrĂšte ou Ă  temps continu, d'une variable alĂ©atoire. Celle-ci intervient dans le calcul classique des probabilitĂ©s, oĂč elle mesure chaque rĂ©sultat possible (ou rĂ©alisation) d'une Ă©preuve.

Cette notion se généralise à plusieurs dimensions. Un cas particulier important, le champ aléatoire de Markov, est utilisé en analyse spatiale.

Utilité

Notion de processus

De nombreux domaines utilisent des observations en fonction du temps (ou plus rarement, d'une variable d'espace). Dans les cas les plus simples, ces observations se traduisent par une courbe bien dĂ©finie. En rĂ©alitĂ©, des sciences de la Terre aux sciences humaines, les observations se prĂ©sentent souvent de maniĂšre plus ou moins erratique. L'interprĂ©tation de ces observations est donc soumise Ă  une certaine incertitude qui peut ĂȘtre traduite par l'utilisation des probabilitĂ©s pour les reprĂ©senter.

Un processus aléatoire généralise la notion de variable aléatoire utilisée en probabilité. On le définit comme une famille de variables aléatoires X(t) associées à toutes les valeurs t ∈ T (souvent le temps).

D'un point de vue statistique, on considÚrera l'ensemble des observations disponibles x(t) comme une réalisation du processus, ce qui donne lieu à certaines difficultés. Un premier problÚme concerne le fait que la durée sur laquelle est construit le processus est généralement infinie alors qu'une réalisation porte sur une durée finie. Il est donc impossible de représenter parfaitement la réalité. Il y a une seconde difficulté beaucoup plus sérieuse : à la différence du problÚme des variables aléatoires, l'information disponible sur un processus se réduit généralement à une seule réalisation.

Types de processus

On distingue généralement les processus en temps discret et en temps continu, à valeurs discrÚtes et à valeurs continues.

Si l'ensemble T est dĂ©nombrable on parle de processus discret ou de sĂ©rie temporelle, si l'ensemble est indĂ©nombrable on parle de processus continu. La diffĂ©rence n'a rien de fondamental : en particulier la stationnaritĂ©, constance en fonction du temps des propriĂ©tĂ©s statistiques, se dĂ©finit de la mĂȘme façon. Il ne s'agit mĂȘme pas d'une diffĂ©rence pratique car les calculs sur un processus continu s'effectuent Ă  partir de l'Ă©chantillonnage d'une rĂ©alisation du processus. La diffĂ©rence porte plutĂŽt sur l'attitude adoptĂ©e face Ă  l'utilisation d'une seule rĂ©alisation.

Il existe une différence un peu plus nette entre les processus à valeurs continues et les processus de comptage à valeurs discrÚtes. Les seconds remplacent par des sommes algébriques les intégrales utilisées par les premiers.

Exemples

En matiĂšre de processus Ă  valeurs continues, les processus de Gauss sont particuliĂšrement utilisĂ©s pour les mĂȘmes raisons que les variables de Gauss en statistiques Ă©lĂ©mentaires. Une application intuitive du thĂ©orĂšme central limite conduit Ă  penser que bon nombre de phĂ©nomĂšnes, dus Ă  des causes nombreuses, sont approximativement gaussiens. D'autre part, un tel processus prĂ©sente l'avantage d'ĂȘtre entiĂšrement dĂ©fini par ses caractĂ©ristiques au second ordre, espĂ©rance et autocovariance.

La description d'un phénomÚne par des valeurs discrÚtes conduit à des processus de comptage dont le plus simple est le processus de Poisson utilisé dans la théorie des files d'attente.

La notion de propriété markovienne définit une classe de processus discrets ou continus, à valeurs discrÚtes ou continues, qui repose sur l'hypothÚse selon laquelle l'avenir ne dépend que de l'instant présent.

Approche mathématique des processus stochastiques

Définitions et propriété de base

On désigne par un espace de probabilité, T un ensemble arbitraire et S un espace métrique muni de la tribu borélienne notée . T est souvent appelé ensemble des indices (souvent, on aura ). T peut faire référence au temps, à l'espace ou aux deux à la fois.

L'indice t ∈ T dĂ©signe alors un instant (), une date (), un point, ou encore un point Ă  un certain instant. S est appelĂ© espace d'Ă©tat (souvent, on aura un ensemble fini ou dĂ©nombrable). Si l'espace d'Ă©tat S est de la forme ℝd, on parle de champ alĂ©atoire.

Un processus stochastique (ou alĂ©atoire) est une famille de variables alĂ©atoires (c'est-Ă -dire, des applications mesurables) dĂ©finies sur le mĂȘme espace de probabilitĂ© indexĂ©e par T et Ă  valeurs dans S. Si T est un sous-ensemble d'un espace multidimensionnel, on prĂ©fĂšre utiliser la dĂ©nomination de champ stochastique. Un processus stochastique est notĂ© par {Xt}t ∈ T. La valeur de la variable alĂ©atoire Xt en un certain ω ∈ Ω est dĂ©signĂ©e par Xt(ω).

La famille de toutes les distributions finies-dimensionnelles de X s'appelle la loi spatiale du processus. Si , on parle de loi temporelle.

Trajectoire d'un processus stochastique

Notons par ST l'ensemble des applications dĂ©finies sur T en tout point et Ă  valeur dans S. Fixons ω ∈ Ω et dĂ©signons par X.(ω) ∈ ST l'application : . Une telle application est appelĂ©e trajectoire (ou rĂ©alisation) du processus stochastique {Xt}t ∈ T.

Mesure de probabilité induite par un processus stochastique

Soit {Xt}t ∈ T un processus stochastique, la σ-algĂšbre borĂ©lienne de ST (c'est-Ă -dire, la σ-algĂšbre engendrĂ©e par les ouverts de la topologie produit de ST) et l'application suivante :

ΊX est mesurable. Désignons par la mesure de probabilité sur définie pour tout par mesure de probabilité sur un espace de fonctions.

La probabilité est dite induite par le processus stochastique {Xt}t ∈ T sur l'espace mesuré .

Lois fini-dimensionnelles

Soient deux processus stochastiques {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T. On suppose que ces deux processus sont Ă  valeur dans . Dans cette dĂ©finition, on ne suppose pas qu'ils sont dĂ©finis sur le mĂȘme espace de probabilitĂ©. On dit alors que {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T possĂšdent les mĂȘmes lois finis dimensionnelles si pour tout et pour tout t1, ... , tk ∈ T, les vecteurs (donc de dimension finie) alĂ©atoires Xt1, ... , Xtk et Yt1, ... , Ytk sont de mĂȘme loi. Pour tout , on a :

On suppose que le processus {Xt}t ∈ T est défini sur l'espace de probabilité et le processus {Yt}t ∈ T est défini sur l'espace de probabilité .

Lorsque deux processus stochastiques {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T possĂšdent les mĂȘmes lois finis dimensionnelles, ils induisent alors la mĂȘme mesure de probabilitĂ© sur , c'est-Ă -dire :

Version d'un processus stochastique

Soient deux processus stochastiques {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T dĂ©finis sur le mĂȘme espace de probabilitĂ© . On dit que {Yt}t ∈ T est une version (ou modification) du processus stochastique {Xt}t ∈ T si ∀ t ∈ T, P(Xt = Yt) = 1. Il est clair que si {Yt}t ∈ T est une version de {Xt}t ∈ T, alors ils ont les mĂȘmes lois finis dimensionnelles.

Processus stochastiques indistinguables

Soient deux processus stochastiques {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T dĂ©finis sur le mĂȘme espace de probabilitĂ© . On dit que {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T sont deux processus stochastiques indistinguables s'il existe tel que :

Il en découle plusieurs propriétés :

  1. Si T est dénombrable, deux processus sont indistinguables si et seulement s'ils sont des versions l'un de l'autre ;
  2. Si T est non dĂ©nombrable, deux processus peuvent ĂȘtre une version l'un de l'autre sans pour autant ĂȘtre indistinguables ;
  3. Supposons T = ℝ ou ℝ+ et {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T deux processus stochastiques tels que pour tout ω ∈ Ω, les applications de T dans S, et sont continues Ă  droite (resp. Ă  gauche). Alors, {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T sont des versions l'un de l'autre si et seulement si {Xt}t ∈ T et {Yt}t ∈ T sont indistinguables.

Mutuelle indépendance

On dit que m processus stochastiques {X1
t
}t ∈ T,..., {Xm
t
}
t ∈ T
sont mutuellement indépendants si et , les vecteurs aléatoires sont mutuellement indépendants.


Mesurabilité d'un processus stochastique

On suppose T ⊂ ℝn. On dit qu'un processus stochastique {Xt}t ∈ T est mesurable si l'application suivante est mesurable :

Supposons que T = ℝ ou ℝ+ et que {Xt}t ∈ T est un processus Ă  trajectoires continues Ă  droite (respectivement continues Ă  gauches), i.e. ∀ w ∈ Ω, X.(w) est continue Ă  droite (resp. continues Ă  gauches). Alors, {Xt}t ∈ T est mesurable.

Voir aussi

Bibliographie

  • Sabin Lessard, Processus stochastiques : cours et exercices corrigĂ©s, coll. « Ellipses », .
  • Jean-Claude Laleuf, Processus et intĂ©grales stochastiques, coll. « Ellipses », .
  • ValĂ©rie Girardin et Nikolaos Limnios, ProbabilitĂ©s : Processus stochastiques et applications, coll. « Vuibert », .
  • Yvon Mori, Signaux alĂ©atoires et processus stochastiques, Hermes/hhhhhh, .
  • Jacques Franchi, Processus alĂ©atoires Ă  temps discret : Cours, exercices et problĂšmes corrigĂ©s, coll. « Ellipses », .
  • F. Comets et T. Meyre, Calcul stochastique et modĂšles de diffusions : cours et exercices corrigĂ©s, Dunod, , 324 p. (ISBN 978-2-10-050135-9)
  • (en) Y. K. Lin, Probabilistic Theory of Structural Dynamics, New York, Robert E. Krieger Publishing Company, , 368 p. (ISBN 0-88275-377-0)

Articles connexes

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplĂ©mentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimĂ©dias.