Échantillonnage (signal)

L'application la plus courante de l'échantillonnage est aujourd'hui la numérisation d'un signal variant dans le temps, mais son principe est ancien.

Depuis plusieurs siècles, on surveille les mouvements lents en inscrivant, périodiquement, les valeurs relevées dans un registre : ainsi des hauteurs d'eau des marées ou des rivières, de la quantité de pluie[2]. L'établissement des lois de la physique depuis le XVII^e siècle repose en partie sur des échantillonnages de phénomènes physiques périodiques, comme en astronomie, ou non périodiques, comme lorsqu'on décrit les trajectoires par une série de points. Les questions mathématiques liées à l'échantillonnage et à sa validité ont une longue histoire ; elles se rattachent aux études sur l'interpolation[3].

La technique de l'échantillonnage permet la reproduction des trois dimensions de l'image animée : le cinématographe, inventé dans les dernières années du XIX^e siècle, prélève des échantillons photographiques d'une scène à une cadence au début mal déterminée mais dont on sait par expérience qu'elle doit être supérieure à dix images par seconde pour ne pas incommoder les spectateurs.

La transmission d'une image par télégraphe, dès 1865 par le pantélégraphe, puis au début du XX^e siècle par téléphone avec le bélinographe, décompose une des dimensions du document en intervalles réguliers, celui des lignes. On transmet une suite de signaux successifs analogues aux luminosités rencontrées sur chacun de ces échantillons. Le principe servira pour la télévision une trentaine d'années plus tard.

Les télécommunications ont développé la première application de l'échantillonnage dans le domaine temporel. Avant que la transmission numérique ne se généralise pour la téléphonie, on procédait au multiplexage de valeurs analogiques de signaux échantillonnés, comme on l'avait fait auparavant pour les signaux télégraphiques ; c'est cette application, pour une grande industrie, qui a donné lieu aux travaux théoriques sur le sujet de Claude Shannon[3]. Ces travaux ne portent pas seulement sur l'échantillonnage, mais plutôt sur la quantité d'information et son encodage numérique. Le traitement numérique du signal va changer radicalement le traitement du signal[4].

Figure 1 : Échantillonnage et sous-échantillonnage de la fonction sinus

Le traitement numérique du signal par ordinateur exige que le signal soit converti en une suite de nombres (numérisation). Cette conversion se décompose, sur le plan théorique, en trois opérations :

1. l'échantillonnage prélève, le plus souvent à intervalles réguliers, la valeur du signal ;
2. la quantification transforme une valeur quelconque en une valeur prise dans une liste finie de valeurs valides pour le système ;
3. le codage fait correspondre à chaque valeur valide pour le système un code numérique.

La théorie de l'échantillonnage s'applique à tout système capturant des valeurs à intervalles définis, y compris quand il y a codage sans quantification, comme dans le cas du relevé des valeurs par une personne, quand il n'y a ni quantification ni codage et que les valeurs échantillonnées restent analogiques, que les grandeurs aient une seule dimension ou plusieurs. La plupart du temps, l'intervalle entre chaque échantillon est constant. Pour déterminer la méthode d'échantillonnage, il faut avoir une connaissance préalable du signal. Il faut au moins déterminer une fréquence maximale susceptible d'y être présente.

Le nombre d'échantillons par unité de temps s'appelle cadence d'échantillonnage ou taux d'échantillonnage. Quand l'échantillonnage se fait à intervalle régulier, on parle de fréquence d'échantillonnage.

L'objectif de l'échantillonnage est la transmission de l'information d'un signal. La question du choix de la fréquence d'échantillonnage se pose immédiatement :

• si la fréquence d'échantillonnage est trop faible, les acquisitions seront trop espacées et si le signal comporte des détails pertinents entre deux positions de capture, ceux-ci seront perdus ;
• plus la fréquence d'échantillonnage est élevée, et plus la transmission coûte en puissance de traitement, en capacités de transmission et en espace de stockage.

Pour choisir une fréquence d'échantillonnage qui soit suffisante, il faut que la connaissance des échantillons suffise pour calculer la valeur du signal dans tous les points intermédiaires. Claude Shannon a montré à quelle condition cela était possible, connaissant la largeur de bande de l'information codée dans le signal à transmettre.

Le théorème d'échantillonnage indique que si toutes les fréquences du signal sont inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, il peut être parfaitement reconstitué. En général, les fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage introduisent un recouvrement spectral également appelé Repliement de spectre (ang. aliasing).

La conversion d'un signal échantillonné vers une fréquence d'échantillonnage inférieure oblige également à limiter la bande passante à moins de la moitié de la nouvelle fréquence d'échantillonnage.

Pour échantillonner efficacement, il faudrait donc :

1. limiter strictement la largeur de bande du signal à la partie qui code l'information ;
2. ceci fait, choisir une fréquence d'échantillonnage égale à deux fois la fréquence supérieure de la bande passante.

Comme on ne peut pas limiter la bande passante rigoureusement, mais seulement atténuer suffisamment à partir d'une certaine fréquence, on doit en fait :

1. construire un filtre qui rejette le plus efficacement possible les fréquences au-delà de la limite supérieure de la bande passante du signal ;
2. choisir une fréquence d'échantillonnage supérieure à deux fois la fréquence supérieure de la bande passante, de telle sorte que les fréquences inutiles à l'information, mais présentes dans le signal, qui seront repliées sur le signal reconstitué, soient suffisamment atténuées par le filtre pour se trouver au niveau du bruit de fond, ou au moins pour ne pas gêner la réception.

Filtres anti-repliement

Figure 2 : Diagramme de transmission des fréquences d'un filtre anti-repliement

Le dispositif chargé d'éliminer, autant que faire se peut, les parties du signal qui ne contiennent aucune information pertinente, parce que leur fréquence est supérieure à la fréquence maximale qu'on envisage de transmettre, s'appelle un filtre anti-repliement (anti aliasing filter en anglais).

Exemple : filtre anti-repliement pour CD audio :

Le CD a été défini, à l'origine, comme un système de distribution musical industriel. Il y a donc un codage, et de très nombreux décodeurs. Il est important que le décodeur soit économique, mais le codage, dont le coût est réparti entre des milliers de consommateurs, peut être assez cher. Pour limiter le coût de l'appareillage domestique, on a choisi une fréquence d'échantillonnage assez basse, 44,1 kHz[7].

Le filtre anti-repliement qui sert au codage peut être une machine coûteuse, et il n’est pas nécessaire qu'il travaille en temps réel. Quelles doivent être ses performances?

1. Le filtre ne doit pas affecter les fréquences inférieures à 16 kHz.
2. Au-delà de 16 kHz et jusqu'à 22,05 kHz (la moitié de la fréquence d'échantillonnage), les fréquences ne contiennent aucune information pertinente. L'action du filtre est indifférente.
3. De 22,05 kHz à 28,10 kHz les fréquences vont se retrouver repliées entre 22,05 kHz et 16 kHz, en dehors de la zone audible. L'action du filtre est indifférente.
4. Au-delà de 28,10 kHz, la différence avec la fréquence d'échantillonnage étant inférieure à 16 kHz, les fréquences sont repliées dans la zone audible.
   1. De 28,10 kHz à 39 kHz environ, les fréquences sont audibles, mais au-delà de 4,2 kHz, la note la plus aiguë du piano, elles ne donnent pas lieu à une perception de hauteur précise. Le signal replié se confond aisément avec du bruit. On utilise cette propriété dans le dithering avec modelage de bruit.
   2. Au-delà, les fréquences du signal replié donnent lieu à une perception de hauteur ; ces hauteurs inharmoniques sont très préjudiciables à l'écoute de la musique.

Le filtre doit effectuer la transition de tout à rien entre 16 kHz et 39 kHz, c'est-à-dire sur un peu plus d'une octave. En pratique, c'est impossible ; mais l'oreille est à la fois moins sensible, puisque les sons musicaux utiles masquent les résidus de fréquences qui peuvent subsister, et l'ouïe est suffisamment « intelligente » pour rejeter des sons qui ne font pas partie de la musique. Le progrès ressenti par rapport aux imperfections des médias précédents (disque vinyle ou cassette audio) a fait le succès du CD malgré ses propres imperfections.

La question de savoir combien d'échantillons il faut mesurer pour connaître suffisamment un phénomène physique a été posée dès le XIX^e siècle. Certains auteurs estiment que le théorème d'échantillonnage est un cas particulier d'un résultat démontré par Cauchy en 1827 et en 1841[8], assertion contestée[9]. Shannon lui-même renvoie à des mathématiciens antérieurs, notamment Edmund Taylor Whittaker.

La démonstration classique du théorème par Claude Shannon, qui fait partie d'un article sur la détermination de la quantité d'information dans un signal limité en fréquence et en présence de bruit[10], se base sur la transformation de Fourier. Cette opération ne peut donner un spectre limité en fréquences qu'avec des signaux supposément infinis dans le temps, fait remarquer Dennis Gabor dans un article publié peu de temps auparavant[11]. Mais les écarts à la rigueur mathématique, répond Shannon, sont de nulle importance si les erreurs qu'ils engendrent sont très inférieures au bruit de fond.

Le développement du traitement du signal dans les années suivantes[4] va donner lieu à de nombreux raffinements de la théorie mathématique de l'échantillonnage. Le plus radical est l'utilisation de la théorie des distributions pour décrire l'échantillonnage. En fournissant une extension à la notion de fonction, ainsi, par voie de conséquence, qu'à la transformation de Fourier, elle donne une structure mathématique idéale à l'échantillonnage. C'est la description qui prévaut dans la plupart des manuels aujourd'hui. La démonstration de Shannon, en effet, si elle répond aux critères de rigueur d'une philosophie pragmatiste, laisse le mathématicien idéaliste insatisfait. Pour les signaux porteurs d'information, limités a priori en durée et en résolution (par le bruit de fond), la transformation de Fourier fournit une description en fréquences adéquate, et de cette transformée, on peut revenir, par la transformation inverse, à la description temporelle. Mais dans le cas d'une fonction périodique, donc sans limite de durée, la transformation de Fourier aboutit à un spectre de raies, correspondant aux coefficients de la série de Fourier. Ce spectre d'un signal périodique idéal ne répond pas aux conditions de Dirichlet et on ne peut pas lui appliquer la transformation de Fourier inverse, pour retrouver la fonction périodique. La théorie des distributions permet de surmonter cette limitation théorique[12].

Plus récemment, on a envisagé d'autres moyens de définir la prévisibilité d'un signal entre les échantillons que d'étudier ses limites de bande passante, aboutissant à une généralisation du théorème d'échantillonnage à partir de la notion de taux d'innovation[13] - [14]. Ces recherches convergent avec le développement des méthodes d'acquisition comprimée.

Les applications sont innombrables ; la quantification qui suit l'échantillonnage pour constituer un signal numérique ne change pas fondamentalement les choses.