Quantification (signal)

On parle de quantification scalaire lorsque le dictionnaire est de dimension 1, c'est-à-dire ses valeurs sont des scalaires. La quantification scalaire est la forme la plus simple de quantification, le cas où le dictionnaire est un espace de dimension supérieure à 1 est appelé la quantification vectorielle.

Un quantifieur scalaire de taille n est une application Q, de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans un ensemble discret fini F, de dimension 1 et de taille n, ${\displaystyle F=\{{\hat {x_{1}}}\ldots {\hat {x_{n}}}\}}$, ${\displaystyle Q:\mathbb {R} \to F}$. On note ${\displaystyle {\hat {x}}=Q(x)}$.

Un quantifieur peut se définir comme un ensemble d'intervalles de l'espace de départ, [t_k , t_k+1], où les t_i sont appelés niveaux de décision. À chaque intervalle [t_k , t_k+1], on fait correspondre une seule valeur de l'espace d'arrivée, r_k, appelée niveau de reconstruction. La forme typique d'un quantifieur est donc une fonction en escalier. D'une manière générale, la largeur d'un intervalle n'est pas constante : ${\displaystyle q_{k}=t_{k+1}-t_{k}\neq cste}$. Cette largeur est appelée le pas de quantification. En général, les niveaux de reconstruction ne sont pas non plus uniformément répartis : ${\displaystyle r_{k+1}-r_{k}\neq cste}$.

Quantifieur scalaire uniforme

Quantificateur uniforme avec un pas de quantification de 1

C'est le type de quantifieur le plus simple, où les intervalles sont de longueur constante.

Le pas de quantification est donc fixe : t_{k + 1} – t_k = q pour tout k.

Les niveaux de reconstructions sont aussi uniformément répartis. Il est parfois appelé quantifieur scalaire symétrique.

Un signal analogique peut avoir des variations infinitésimales. La quantification correspondant à des niveaux discrets, il en résulte une perte d'information, pour peu que l'on puisse mesurer des variations inférieures aux longueurs d'intervalle de quantification avec des moyens analogiques.

Le signal quantifié est en général un signal électrique, avec un convertisseur analogique-numérique — s'il est d'une autre nature, on le transforme en signal électrique, avec un transducteur. Appelons ΔV l'amplitude maximale du signal en tension, et δV la plus petite variation du signal numérisé, le pas de discrétisation. Dans le cas d'une quantification uniforme, si l'on a N seuils, on a alors :

${\displaystyle \delta V={\frac {\Delta V}{N-1}}.}$

En général, N est grand pour que la quantification soit « fine », on peut donc écrire :

${\displaystyle \delta V\simeq {\frac {\Delta V}{N}}.}$

En général, le signal numérisé est codé en base deux pour un stockage informatique (voir l'article Format de données). La variation minimale δV correspond alors au bit de poids faible ; δV est de fait fréquemment désigné par le sigle LSB, pour least significant bit. Si le signal est codé sur n bits, on a alors N = 2ⁿ et

${\displaystyle \delta V_{\textrm {LSB}}\simeq {\frac {\Delta V}{2^{n}}}.}$

Quantification d'un signal analogique sur 2 bits (4 valeurs).
Graphique du bas : différence entre les deux signaux du graphique du haut (l'accumulation des erreurs de quantification représente le bruit).

La quantification est une opération destructrice d'information. Elle introduit une erreur (ou un bruit) entre le signal quantifié et le signal source. Cette erreur est généralement mesurée par la distance suivante :

${\displaystyle e(n)={\hat {x}}(n)-x(n)}$

Cette erreur de quantification est aussi appelée distorsion.

Considérons un quantificateur de n-bits avec une excursion de tension d'entrée de ${\displaystyle \pm V_{\max }}$. Le pas de quantification est donné par ${\displaystyle \delta V={\frac {2V_{\max }}{2^{n}}}}$.

Pour mesurer l'erreur de quantification, nous supposons que l'erreur est uniformément distribuée entre ${\displaystyle -\delta V/2<e(n)<\delta V/2}$ (hypothèse raisonnable pour les faibles valeurs de δV). La probabilité totale d'erreur étant de 1, l'amplitude de la fonction de densité de probabilité de l'erreur de quantification p_e est de ${\displaystyle 1/\delta V}$ pour ${\displaystyle -\delta V/2<e(n)<\delta V/2}$ et 0 ailleurs.

d'où une puissance de bruit (ou variance) :

${\displaystyle \sigma _{e}^{2}=\int _{-\delta V/2}^{\delta V/2}e^{2}{\frac {1}{\delta V}}\mathrm {d} e={\frac {\delta V^{2}}{12}}={\frac {V_{\text{max}}^{2}2^{-2n}}{3}}}$

Le quantifieur optimal est celui qui minimise la distorsion.

Le quantifieur scalaire uniforme est optimal si l'amplitude de la source suit une distribution uniforme. Les signaux audio ou image ne peuvent cependant être considérés comme des sources uniformes, ce qui a conduit à la recherche d'algorithmes permettant de générer un quantifieur optimal, pour tous types de sources. Ce quantifieur est donné par l'algorithme de Lloyd-Max, basé sur les conditions d'optimalités définies par Lloyd en 1957.

• M Antonini et Vincent Ricordel, « Quantification », dans Michel Barlaud et Claude Labit (dir.), Compression et codage des images et des vidéos : Traité IC2, Série traitement du signal et de l’image, Paris, Hermes, janvier 2002, 1^re éd., 28 p. (ISBN 2-7462-0328-6, lire en ligne)
• Quantization Robert M. Gray, David L. Neuhoff, IEEE Trans. on Inf. Theory, 1998
• Source Coding Theory, Robert M. Gray
• S. P. Lloyd, “Least squares quantization in PCM”, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-28, p. 129-137, mars 1982