Loi uniforme continue

La densité de probabilité de la loi ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ est une fonction porte sur l'intervalle [a, b] :

${\displaystyle \mathrm {f} (x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x\leq b,\\0&{\text{sinon}}.\end{cases}}}$

La fonction de répartition de la loi ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ est :

${\displaystyle \mathrm {F} (x)={\begin{cases}0&{\text{pour }}x<a,\\{\dfrac {x-a}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x<b,\\1&{\text{pour }}x\geq b.\end{cases}}}$

La fonction génératrice des moments de la loi ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ est :

${\displaystyle M_{X}=\mathbb {E} [{\rm {e}}^{tX}]={\frac {{\rm {e}}^{tb}-{\rm {e}}^{ta}}{t(b-a)}}.}$

Elle permet de calculer tous les moments non centrés, m_k :

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.}$

Ainsi, pour une variable aléatoire suivant la loi ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b),}$ l'espérance est m₁ = (a + b)/2, et la variance est m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme continue sur l'intervalle [0, 1] est b_n/n, où b_n est le n-ième nombre de Bernoulli.

Soit X₁, ..., X_n un échantillon i.i.d. issu de la loi ${\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1).}$ Soit X_(k) la k-ième statistique d'ordre de l'échantillon. Alors la distribution de X_(k) est une loi bêta de paramètres k et n − k + 1.

L'espérance est :

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{(k)}]={k \over n+1}.}$

Ce fait est utile lorsqu'on construit une droite de Henry.

La variance est :

${\displaystyle \mathbb {V} [X_{(k)}]={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur ${\displaystyle (\ell ),}$ à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X suit la loi ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ et si ${\displaystyle [x,x+\ell ]}$ est un sous-intervalle de [a, b], avec ${\displaystyle \ell >0}$ fixé, alors :

${\displaystyle \mathbb {P} {\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$

qui est indépendant de x. Ce fait motive la dénomination de cette loi.

Il peut sembler surprenant que les variables ${\displaystyle \{V_{1}+V_{2}\}}$ et ${\displaystyle \{V_{1}+V_{2}+V_{3}\},}$ par exemple, soient indépendantes, alors qu'elles dépendent toutes deux de manière cruciale des variables ${\displaystyle V_{1}}$ et ${\displaystyle V_{2}.}$ C'est une conséquence particulière de la propriété d'invariance de la loi uniforme : par exemple, étant la mesure de Haar de ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Z} ,}$ elle est idempotente pour la convolution.

Cette section décrit l'estimation de la borne supérieure ${\displaystyle (b)}$ de la distribution ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b),}$ au vu d'un échantillon de ${\displaystyle n}$ individus, la borne inférieure ${\displaystyle (a)}$ étant connue.

Pour une loi uniforme sur ${\displaystyle [0,b]}$ avec ${\displaystyle b}$ inconnu, l'estimateur sans biais de valeur minimale (en) pour le maximum est donné par :

${\displaystyle {\hat {b}}_{MV}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}},}$

où ${\displaystyle m}$ est le maximum de l'échantillon et ${\displaystyle k}$ la taille de l'échantillon, échantillonné sans remise (bien que cette précision n'a aucune incidence dans le cas uniforme).

On obtient cette valeur par un raisonnement similaire au cas discret. Ce problème peut être vu comme un cas simple d'estimation de l'espacement maximal (en). Il est connu sous le nom de Problème du char d'assaut allemand, par son application d'estimation maximale de la production des chars d'assaut allemands pendant la Seconde Guerre mondiale.

L'estimateur par maximum de vraisemblance est :

${\displaystyle {\hat {b}}_{ML}=m,}$

où ${\displaystyle m}$ est la valeur maximum dans l'échantillon, qui est aussi la statistique d'ordre maximale de l'échantillon.

L'estimateur par la méthode des moments est :

${\displaystyle {\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}},}$

où ${\displaystyle {\bar {X}}}$ est la moyenne de l'échantillon.

Le milieu ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$ de l'intervalle de la loi uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ est à la fois la moyenne et la médiane de cette loi. Bien que la moyenne et la médiane de l'échantillon sont des estimateurs sans biais du milieu, ils ne sont pas aussi efficaces que le milieu de gamme de l'échantillon, i.e. la moyenne arithmétique du maximum et du minimum de l'échantillon, qui est l'estimateur sans biais de variance minimale du milieu (et aussi l'estimateur par maximum de vraisemblance).

On considère X₁, X₂, ..., X_n un échantillon de ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{[0,L]},}$ où L est la valeur maximum dans la population. Alors X_(n) = max( X₁, X₂, ..., X_n ) a la densité de Lebesgue-Borel[3] ${\displaystyle \mathrm {f} ={\frac {\mathrm {d} \mathbb {P} _{X_{(n)}}}{\mathrm {d} \lambda }}:}$

${\displaystyle \mathrm {f} (t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}1\!\!1_{[0;L]}(t)=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0;L]}(t),}$

où ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,L]}}$ est la fonction caractéristique (ou indicatrice) de ${\displaystyle [0,L].}$

L'intervalle de confiance est mathématiquement incorrect, car ${\displaystyle \mathbb {P} ([{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta )\geq 1-\alpha }$ ne peut être résolu pour ${\displaystyle \varepsilon }$ sans information sur ${\displaystyle \theta .}$ On peut cependant résoudre

${\displaystyle \mathbb {P} ([{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta )\geq 1-\alpha }$ pour ${\displaystyle \varepsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1}$ pour tout ${\displaystyle \theta }$ inconnu mais valide ;

on peut alors choisir le plus petit ${\displaystyle \varepsilon }$ possible vérifiant la condition ci-dessus. On note que la longueur de l'intervalle ${\displaystyle [{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]}$ dépend de la variable aléatoire ${\displaystyle {\hat {\theta }}.}$

Cette section décrit l'estimation des deux bornes ${\displaystyle (a;b)}$ de la distribution uniforme continue ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b),}$ au vu d'un échantillon de ${\displaystyle n}$ individus.

Soient ${\displaystyle {\hat {a}}}$ et ${\displaystyle {\hat {b}}}$ les estimateurs respectifs des bornes inférieure ${\displaystyle (a)}$ et supérieure ${\displaystyle (b)}$ de la distribution mère, construits sur la base de l'échantillon contenant les ${\displaystyle n}$ modalités de la variable aléatoire ${\displaystyle X}$ issues de la distribution ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b).}$

La méthode du maximum de vraisemblance aboutit à la sélection des minimum et maximum empiriques :

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {a}}&=&\min \,(x_{i})_{i=1,n}\\{\hat {b}}&=&\max \,(x_{i})_{i=1,n}.\end{cases}}}$

Ce couple d'estimateurs est biaisé : la probabilité qu'un ${\displaystyle n}$-échantillon capture le minimum ${\displaystyle (a)}$ ou le maximum ${\displaystyle (b)}$ permis par la distribution mère étant quasi-nulle, la moyenne d'un grand nombre d'observations sur de tels ${\displaystyle n}$-échantillons ne converge pas vers les bornes de ladite distribution mère :

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {E} ({\hat {a}})&\geq &a\\\mathbb {E} ({\hat {b}})&\leq &b.\end{cases}}}$

La démonstration est produite plus bas.

Les densités de probabilité sont notées en minuscules (par ex. ${\displaystyle \mathrm {f} }$), les fonctions de répartition sont notées en majuscules (par ex. ${\displaystyle \mathrm {F} }$).

${\displaystyle d^{2}\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {a}}\leq x+dx\,;\,y\leq {\hat {b}}\leq y+dy\right)=\underbrace {{\frac {n\,\left(n-1\right)}{\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(y-x\right)^{n-2}} _{f_{{\hat {a}},{\hat {b}}}(x,y)}\,dx\,dy.}$

Concernant l'estimateur de la borne inférieure ${\displaystyle ({\hat {a}})\$ :}

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\;{\begin{cases}d\mathbb {P} \,(x\leq {\hat {a}}\leq x+dx)&=&f_{\hat {a}}(x)\,dx&=&{\frac {n}{b-a}}\,{\Bigl (}{\frac {b-x}{b-a}}{\Bigr )}^{n-1}\,dx\\\mathbb {P} \,({\hat {a}}\leq x)&=&F_{\hat {a}}(x)&=&1-{\Bigl (}{\frac {b-x}{b-a}}{\Bigr )}^{n}.\end{cases}}}$

Par une démonstration similaire, on obtient pour l'estimateur de la borne supérieure ${\displaystyle ({\hat {b}})}$ :

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\;{\begin{cases}\mathrm {d} \mathbb {P} \,(x\leq {\hat {b}}\leq x+dx)&=&f_{\hat {b}}(x)\,\mathrm {d} x&=&{\frac {n}{b-a}}\,\left({\frac {x-a}{b-a}}\right)^{n-1}\,\mathrm {d} x\\\mathbb {P} \,({\hat {b}}\leq x)&=&F_{\hat {b}}(x)&=&\left({\frac {x-a}{b-a}}\right)^{n}.\end{cases}}}$

La définition de la convergence d'un estimateur est donnée dans le document référencé [4].

Concernant l'estimateur de la borne inférieure (${\displaystyle {\hat {a}}_{n}}$ sur un n-échantillon) : ${\displaystyle \mathbb {P} \,(|{\hat {a}}_{n}-a|>\varepsilon )=\mathbb {P} \,({\hat {a}}_{n}>a+\varepsilon )}$ car aucune valeur inférieure à a ne peut être observée. Donc :

${\displaystyle \mathbb {P} \,(|{\hat {a}}_{n}-a|>\varepsilon )=\left({\frac {b-a-\varepsilon }{b-a}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {\varepsilon }{b-a}}\right)^{n}{\xrightarrow[{n\rightarrow +\infty }]{}}\,0.}$

Une démonstration similaire s'applique pour l'estimateur de la borne supérieure.

${\displaystyle ({\hat {a}};{\hat {b}})}$ forme donc un couple d'estimateurs convergents.

Lorsque l'on multiplie les échantillons (de taille ${\displaystyle n}$ donnée), la moyenne des observations ne tend pas vers le couple de bornes ${\displaystyle (a,b)}$ de la distribution mère :

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {E} ({\hat {a}})&=&a+{\frac {b-a}{n+1}}\\\mathbb {E} ({\hat {b}})&=&b-{\frac {b-a}{n+1}}.\end{cases}}}$

Ces deux estimateurs ne sont qu'asymptotiquement sans biais[4], i.e. lorsque la taille ${\displaystyle n}$ de l'échantillon tend vers l'infini.

Le couple d'estimateurs ${\displaystyle ({\hat {\hat {a}}}\,;\,{\hat {\hat {b}}})}$ défini ci-dessous est sans biais[5] :

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {\hat {a}}}&=&{\hat {a}}-{\frac {{\hat {b}}-{\hat {a}}}{n-1}}&=&{\frac {n\,{\hat {a}}-{\hat {b}}}{n-1}}\\{\hat {\hat {b}}}&=&{\hat {b}}+{\frac {{\hat {b}}-{\hat {a}}}{n-1}}&=&{\frac {n\,{\hat {b}}-{\hat {a}}}{n-1}}.\end{cases}}}$

Démonstration

On vérifie l'espérance de l'estimateur ${\displaystyle {\hat {\hat {a}}}}$ :

$${\displaystyle \mathbb {E} ({\hat {\hat {a}}})=\mathbb {E} ({\hat {a}})-{\frac {1}{n-1}}\left(\mathbb {E} ({\hat {b}})-\mathbb {E} ({\hat {a}})\right)=a+{\frac {b-a}{n+1}}-{\frac {b-a}{n-1}}\,{\frac {n-1}{n+1}}=a.}$$

L'espérance de l'erreur commise ${\displaystyle ({\hat {\hat {a}}}-a)}$ est nulle, ce qui en fait un estimateur sans biais de ${\displaystyle a.}$

La démonstration est identique avec l'autre estimateur ${\displaystyle {\hat {\hat {b}}}.}$

Le calcul de ces estimateurs (avec ou sans biais) ne nécessite pas la connaissance des paramètres ${\displaystyle (a;b)}$ de la distribution mère.

Les lois de distribution qui régissent le couple d'estimateurs sans biais sont plus complexes à déterminer. Le document [5] donne les lois suivantes :

${\displaystyle d^{2}\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {\hat {a}}}\leq x+dx\,;\,y\leq {\hat {\hat {b}}}\leq y+dy\right)=\underbrace {{\frac {n\,\left(n-1\right)^{n}}{\left(n+1\right)^{n-1}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(y-x\right)^{n-2}} _{f_{{\hat {\hat {a}}},{\hat {\hat {b}}}}(x,y)}\,dx\,dy.}$

Sachant que la variable ${\displaystyle {\hat {\hat {a}}}}$ admet comme support l'intervalle ${\displaystyle \left[{\frac {n\,a-b}{n-1}}\,;\,b\right]}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}\forall x\leq a&d\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {\hat {a}}}\leq x+dx\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left[\left(b-x\right)^{n-1}-n^{n-1}\left(a-x\right)^{n-1}\right]\,dx\\\forall x\geq a&d\mathbb {P} \,\left(x\leq {\hat {\hat {a}}}\leq x+dx\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(b-x\right)^{n-1}\,dx.\end{cases}}}$

Sachant que la variable ${\displaystyle {\hat {\hat {b}}}}$ admet comme support l'intervalle ${\displaystyle \left[a\,;\,{\frac {n\,b-a}{n-1}}\right]}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}\forall y\leq b&d\mathbb {P} \,\left(y\leq {\hat {\hat {b}}}\leq y+dy\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left(y-a\right)^{n-1}\,dy\\\forall y\geq b&d\mathbb {P} \,\left(y\leq {\hat {\hat {b}}}\leq y+dy\right)&=&{\frac {\left(n-1\right)^{n-1}}{n^{n-2}\,\left(b-a\right)^{n}}}\,\left[\left(y-a\right)^{n-1}-n^{n-1}\left(y-b\right)^{n-1}\right]\,dy.\end{cases}}}$

On considère ici :

• une loi mère uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ donnée et connue,
• le couple d'estimateurs avec biais formé par le minimum ${\displaystyle ({\hat {a}})}$ et le maximum ${\displaystyle ({\hat {b}})}$ empiriques déterminés sur un ${\displaystyle n}$-échantillon.

Les estimateurs considérés sont ceux avec biais car :

• leurs lois de distribution sont simples à manipuler ;
• le document référencé [5] montre que construire des intervalles de pari à partir des estimateurs sans biais n'aboutit pas in fine à des intervalles plus réduits pour un niveau de confiance donné, et en explique la raison.

On cherche à connaître comment se répartissent les n-échantillons possibles formés à partir de la distribution mère ${\displaystyle {\mathcal {U}}\,(a,b)}$, en plaçant dans le plan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ :

• sur l'axe des abscisses, la borne inférieure ${\displaystyle (a)}$ de la distribution mère et les minima empiriques des échantillons ;
• sur l'axe des ordonnées, la borne supérieure ${\displaystyle (b)}$ de la distribution mère et les maxima empiriques des échantillons.

On note :

${\displaystyle {\begin{cases}m&=&{\text{valeur de}}\,{\hat {a}}&=&\min \,(x_{i})_{i=1,n}\\M&=&{\text{valeur de}}\,{\hat {b}}&=&\max \,(x_{i})_{i=1,n}.\end{cases}}}$

Zone du plan où l'on peut trouver des échantillons issus de U (a,b)

La distribution mère ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ et la construction des estimateurs imposent la hiérarchie suivante : ${\displaystyle a\leq m\leq M\leq b.}$ Les échantillons issus de cette loi mère sont tous situés à l'intérieur du triangle rectangle formé par la droite ${\displaystyle x=a}$, la droite ${\displaystyle y=b}$ et la première bissectrice (cf. figure ci-contre).

Un bon échantillon (i.e. un échantillon représentatif de sa population mère) se caractérise par :

• un minimum empirique ${\displaystyle (m)}$ proche de ${\displaystyle a}$
• et un maximum empirique ${\displaystyle (M)}$ proche de ${\displaystyle b.}$

Le risque de pari ${\displaystyle (\alpha )}$ associé à un échantillon ${\displaystyle ({\hat {a}}=m\,;{\hat {b}}=M)}$ est défini par la probabilité de trouver un échantillon plus mauvais que lui, i.e. présentant :

• un minimum empirique supérieur ou égal à ${\displaystyle m,}$
• ou un maximum empirique inférieur ou égal à ${\displaystyle M.}$

Intervalle de pari sur le minimum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)

L'expérimentateur choisit son risque de pari ${\displaystyle (\alpha )}$. Le risque de pari sur le minimum empirique est défini par l'équation suivante :

${\displaystyle \alpha =\mathbb {P} \,\left({\hat {a}}\geq m\;\forall {\hat {b}}\in \left[{\hat {a}}\,;\,b\right]\right)=\left({\frac {b-m}{b-a}}\right)^{n}\Rightarrow \,m_{1-\alpha }=b-(b-a)\cdot \alpha ^{\frac {1}{n}}}$

La surface de pari sur le minimum empirique au niveau de confiance ${\displaystyle (1-\alpha )}$ rassemble les échantillons qui vérifient : ${\displaystyle {\hat {a}}\in [a\,;m_{1-\alpha }]}$ et ${\displaystyle {\hat {b}}\in [{\hat {a}}\,;b]}$.

Intervalle de pari sur le maximum empirique d'un échantillon issu de U (a,b)

De façon similaire, le risque de pari sur le maximum empirique est défini par l'équation suivante :

${\displaystyle \alpha =\mathbb {P} \,\left({\hat {b}}\leq M\;\forall {\hat {a}}\in \left[a\,;{\hat {b}}\right]\right)=\left({\frac {M-a}{b-a}}\right)^{n}\Rightarrow \,M_{1-\alpha }=a+(b-a)\cdot \alpha ^{\frac {1}{n}}}$

La surface de pari sur le maximum empirique au niveau de confiance ${\displaystyle (1-\alpha )}$ rassemble les échantillons qui vérifient : ${\displaystyle {\hat {b}}\in [M_{1-\alpha }\,;b]}$ et ${\displaystyle {\hat {a}}\in [a\,;{\hat {b}}]}$.

La surface de pari est celle qui capture la proportion ${\displaystyle (1-\alpha )}$ des échantillons formés à partir d'une population mère ${\displaystyle {\mathcal {U}}\,(a,b)}$ donnée et connue.

Choix de la forme de la surface de pari, représenté dans les coordonnées réduites ${\displaystyle \left(\varphi \,;\,\psi \right)}$

Le problème dépend de la forme que l'on aura choisi de donner à cette surface, qui peut être un carré, un triangle, un quart de cercle, ... On choisit ici un triangle rectangle, de sommet ${\displaystyle P_{1}\,\left(a\,;\,b\right)}$ et dont l'hypoténuse est parallèle à la première bissectrice (cf. figure ci-contre). La raison est que la densité de probabilité associée au couple ${\displaystyle \left({\hat {a}}\,;\,{\hat {b}}\right)}$est constante le long d'un lieu ${\displaystyle y-x=Cte}$. Ceci permet de découper l'espace suivant une ligne iso-densité, minimisant ainsi la surface de pari pour capturer un effectif donné.

Les variables réduites classiques pour les distributions uniformes sont introduites afin de simplifier les calculs qui suivent :

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi &=&{\frac {m-a}{b-a}}\\\psi &=&{\frac {M-a}{b-a}}\end{cases}}}$

Les relations de conversion du domaine réel en domaine réduit sont données par le tableau ci-dessous :

Échantillon {m ; M} à population {a ; b} donnée	Représentation adimensionnée	Population {a ; b} à échantillon {m ; M} donné
${\displaystyle a\leq m\leq M\leq b}$	${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \psi \leq 1}$	${\displaystyle a\leq m\leq M\leq b}$
${\displaystyle {\begin{cases}m&\in &\left[a\,;\,M\right]\\M&\in &\left[m\,;\,b\right]\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{cases}a&\in &\left]-\infty \,;m\right]\\b&\in &\left[M\,;+\infty \right[\end{cases}}}$
${\displaystyle m=a}$	${\displaystyle \varphi =0}$	${\displaystyle a=m}$
${\displaystyle m\rightarrow M=b}$	${\displaystyle \varphi =1}$	${\displaystyle a\rightarrow -\infty }$
${\displaystyle M\rightarrow m=a}$	${\displaystyle \psi =0}$	${\displaystyle b\rightarrow +\infty }$
${\displaystyle M=b}$	${\displaystyle \psi =1}$	${\displaystyle b=M}$

Exprimée dans le plan des coordonnées réduites, la surface pari au niveau de confiance ${\displaystyle (1-\alpha )}$ est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets :

${\displaystyle P_{1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\;\;P_{2}{\begin{pmatrix}\delta \\1\end{pmatrix}}\;\;P_{3}{\begin{pmatrix}0\\1-\delta \end{pmatrix}}}$

La marge réduite ${\displaystyle \left(\delta \right)}$ est reliée au risque de pari ${\displaystyle \left(\alpha \right)}$ par l'équation suivante :

${\displaystyle \left(1-\delta \right)^{n-1}\,\left[1+\left(n-1\right)\delta \right]=\alpha }$

Marge réduite = f (effectif de l'échantillon, risque de pari

L'équation liant la marge réduite ${\displaystyle \left(\delta _{1-\alpha }\right)}$ au risque de pari ${\displaystyle \left(\alpha \right)}$ peut être résolue par la méthode du point fixe : la suite ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ définie ci-dessous converge rapidement vers la solution, même avec une initialisation forfaitaire :

Surface pari au niveau de confiance ${\displaystyle \left(1-\alpha \right)}$ tracée dans le plan des coordonnées de l'expérimentateur

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}&=&{\frac {1}{2}}\\x_{n+1}&=&1-\left({\frac {\alpha }{1+\left(n-1\right)\,x_{n}}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\end{cases}}}$

Le lieu des solutions est tracé ci-contre, en fonction de l'effectif de l'échantillon et du risque de pari ${\displaystyle \alpha }$.

Replacée dans le plan des coordonnées correspondant au problème réel de l'expérimentateur, la surface pari au niveau de confiance ${\displaystyle (1-\alpha )}$ est constituée par l'intérieur du triangle rectangle de sommets :

${\displaystyle P_{1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\;\;P_{2}{\begin{pmatrix}a+\delta _{1-\alpha }\,\left(b-a\right)\\b\end{pmatrix}}\;\;P_{3}{\begin{pmatrix}a\\b-\delta _{1-\alpha }\,\left(b-a\right)\end{pmatrix}}}$

Le point de vue est inversé par rapport à la section précédente :

• le n-échantillon est connu, et le couple des minimum et maximum empiriques obtenus est ${\displaystyle \left(m\,;M\right)}$ ;
• on veut connaître quelles populations mères ${\displaystyle {\mathcal {U}}\,(a,b)}$ auraient pu générer cet échantillon, au niveau de confiance ${\displaystyle (1-\alpha )}$ choisi par l'expérimentateur.