Loi bêta

La densité de probabilité de la loi bêta est :

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,\mathrm {d} u}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\[3pt]0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}}$

${\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\;1\!\!1_{[0;1]}(x)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\;1\!\!1_{[0;1]}(x)}$

où Γ est la fonction gamma et ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,1]}}$ est la fonction caractéristique de [0 ; 1]. La fonction bêta Β apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

La fonction de répartition est

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!}$

où ${\displaystyle \mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}$ est la fonction bêta incomplète et ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ est la fonction bêta incomplète régularisée.

La fonction génératrice des moments est

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha$ ;\alpha +\beta ;t)}

où ₁F₁ désigne la fonction hypergéométrique confluente, aussi notée ${\displaystyle {}M(\alpha$ ;\alpha +\beta ;t)} .

Sa fonction caractéristique est

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha$ ;\alpha +\beta ;\mathrm {i} t)}

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:

• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}$ est en forme de U (graphe rouge) ;
• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}$ ou ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}$ est strictement décroissant (graphe bleu) ;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}$ est strictement convexe ;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}$ est une droite ;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}$ est strictement concave ;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}$ est la loi uniforme continue ;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}$ ou ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}$ est strictement croissant (graphe vert) ;
  • ${\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}$ est strictement convexe ;
  • ${\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}$ est une droite ;
  • ${\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}$ est strictement concave ;
• ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}$ est unimodal (graphes noir et violet).

Qui plus est, si ${\displaystyle \alpha =\beta }$ alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).