Loi bêta décentrée

La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle B}$ est la fonction bêta, ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont les paramètres de forme et ${\displaystyle \lambda }$ est le paramètre de décentrement.

La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)}$

où ${\displaystyle I_{x}}$ est la fonction bêta incomplète régularisée, ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont les paramètres de forme et ${\displaystyle \lambda }$ est le paramètre de décentrement.

Quand ${\displaystyle \lambda =0}$, la loi bêta décentrée est la loi bêta.

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
• (en) J.L. Jr Hodges, « On the noncentral beta-distribution », Annals of Mathematical Statistics, vol. 26,‎ 1955, p. 648–653
• (en) G.A.F. Seber, « The non-central chi-squared and beta distributions », Biometrika, vol. 50,‎ 1963, p. 542–544