Loi bêta rectangulaire

Si les paramètres de la loi bêta sont ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$, et si le paramètre de mélange est ${\displaystyle \theta }$, alors la loi bêta rectangulaire a pour densité de probabilité

${\displaystyle p(x|\alpha ,\beta ,\theta )={\begin{cases}{\frac {\theta \Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}{\frac {(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta -1}}{(b-a)^{\alpha +\beta +1}}}+{\frac {1-\theta }{b-a}}&\mathrm {pour} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {pour} \ x<a\ \mathrm {ou} \ x>b\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ est la fonction Gamma.

La fonction de répartition est

${\displaystyle F(x|\alpha ,\beta ,\theta )=\theta I_{z}(\alpha ,\beta )+{\frac {(1-\theta )(x-a)}{b-a}}}$

où ${\displaystyle z={\dfrac {x-a}{b-a}}}$ et ${\displaystyle I_{z}(\alpha ,\beta )}$ est la fonction bêta incomplète régularisée.

La loi bêta est fréquemment utilisée pour l'étude du réseau PERT, des chemins critiques et d'autres méthodologies de gestion de projet pour caractériser la loi d'une durée d'activité[1].

En réseau PERT, les restrictions des paramètres de la loi bêta simplifient les calculs de l'espérance et de l'écart type :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} (x)&{}={\frac {a+4m+b}{6}}\\\operatorname {Var} (x)&{}={\frac {(b-a)^{2}}{36}}\end{aligned}}}$

où a est le minimum, b est le maximum et m est le mode ou valeur la plus probable.

En fixant ${\displaystyle \theta }$ plus petit que 1, on augmente l'incertitude de l'aspect rectangulaire de la loi. L'espérance ci-dessus devient alors :

${\displaystyle \mathbb {E} (x)={\frac {\theta (a+4m+b)+3(1-\theta )(a+b)}{6}}.}$

Lorsque la gestion de projet amène une symétrie à la loi sous les conditions standards PERT, alors la variance est :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)={\frac {(b-a)^{2}(3-2\theta )}{36}}}$

alors que le cas asymétrique donne :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)={\frac {(b-a)^{2}(3-2\theta ^{2})}{36}}.}$