Densité mélange

En prenant une fonction ${\displaystyle f(x,\theta )}$, densité d'une variable aléatoire ${\displaystyle x}$ paramétrée par ${\displaystyle \theta }$. Par exemple, si ${\displaystyle f}$ est une loi normale, alors ${\displaystyle \theta }$ est constitué de la moyenne et de la variance. Si on appelle ${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{K}}$ une famille de paramètres et ${\displaystyle \pi _{1},\dots ,\pi _{K}}$ une famille de scalaires tels que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\pi _{k}=1}$,

alors, la fonction ${\displaystyle g}$ définie par

${\displaystyle g(x,\theta _{1},\dots ,\theta _{K})=\sum _{k=1}^{K}\pi _{k}f(x,\theta _{k})}$

est la fonction de densité d'une loi mélange à ${\displaystyle K}$ composantes.

On peut étendre cette définition au cas où le nombre des composantes est infini. En considérant un ensemble ${\displaystyle \Omega }$ de paramètres, si on a

${\displaystyle \int _{\Omega }\pi \left(\theta \right)d\theta =1,}$

alors, la fonction

${\displaystyle g\left(x,\Omega \right)=\int _{\Omega }\pi (\theta )f(x,\theta )d\theta }$

est une densité mélange.

Fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2.

Par exemple, l'image suivante représente la fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2.

Une densité mélange de densités est elle-même une densité. Cela est notamment dû au fait d'utiliser une combinaison convexe dans la définition (ce ne serait pas nécessairement le cas avec une combinaison linéaire quelconque).

• Modèle de mélanges gaussiens