Combinaison linéaire

Soient K un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K. Les éléments de E sont appelés les vecteurs et les éléments de K les scalaires. Si v₁, …, v_n sont des vecteurs et a₁, …, a_n des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est le vecteur a₁v₁ + … + a_nv_n.

Pour parler de combinaison linéaire d'une famille (v_i)_i∈I de vecteurs de E indexée par un ensemble I éventuellement infini, il est nécessaire de supposer que la famille (a_i)_i∈I de scalaires est à support fini, c'est-à-dire[1] qu'il n'y a qu'un ensemble fini d'indices i pour lesquels a_i est non nul. La combinaison linéaire[1] des v_i de coefficients les a_i est alors[2] la somme ∑_i∈I a_iv_i (en particulier, une combinaison linéaire ne portant sur aucun vecteur est la somme vide, égale au vecteur nul).

Une « relation de dépendance linéaire » est une combinaison linéaire égale au vecteur nul. Une famille de vecteurs est liée si elle possède au moins une relation de dépendance linéaire « non triviale », c'est-à-dire à coefficients non tous nuls.

Une partie non vide F de E est un sous-espace vectoriel si et seulement si F est « stable par combinaisons linéaires », c'est-à-dire si toute combinaison linéaire de vecteurs de F est encore un vecteur de F.

• Soient K le corps ℝ des nombres réels et E l'espace vectoriel euclidien ℝ³.
  Considérons les vecteurs e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0) et e₃ = (0, 0, 1).
  Alors, tout vecteur (a₁, a₂, a₃) de ℝ³ est une combinaison linéaire de e₁, e₂ et e₃. En effet, (a₁, a₂, a₃) = a₁(1, 0, 0) + a₂(0, 1, 0) + a₃(0, 0, 1) = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃.
• Soient K le corps ℂ des nombres complexes et E l'espace des fonctions de ℝ dans ℂ. Les formules d'Euler expriment les fonctions f : x ↦ e^ix et g : x ↦ e^–ix comme combinaisons linéaires des fonctions cosinus et sinus : f = cos + i sin, g = cos – i sin et inversement : cos = (1/2) f + (1/2)g, sin = (–i/2) f + (i/2)g. Par contre, les fonctions constantes non nulles ne sont pas combinaisons linéaires de f et g, autrement dit : les fonctions 1, f et g sont linéairement indépendantes[3].

Considérons à nouveau un corps commutatif K, un K-espace vectoriel E et v₁, …, v_n des vecteurs de E. L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs s'appelle le « sous-espace vectoriel engendré » (ou juste « sous-espace engendré ») par ces vecteurs et se note Vect(v₁, …, v_n) :

${\displaystyle \mathrm {Vect} (v_{1},\ldots ,v_{n})=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Si E est un espace vectoriel topologique, alors il est possible de donner un sens à une combinaison linéaire infinie, en utilisant la topologie de E. Par exemple, nous pourrions parler de la somme infinie a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ + … .

De telles combinaisons linéaires infinies n'ont pas toujours un sens ; nous les qualifions de convergentes lorsqu'elles en ont un. Le fait de pouvoir considérer davantage de combinaisons linéaires dans ce cas peut également mener à des concepts plus larges de sous-espace vectoriel engendré, d'indépendance linéaire, et de bases.

Si K est un anneau commutatif au lieu d'être un corps, alors tout ce qui a été dit au-dessus sur les combinaisons linéaires se généralise sans aucun changement. La seule différence est que nous appelons ces espaces E des modules au lieu d'espaces vectoriels.

Si K est un anneau non commutatif, alors la notion de combinaison linéaire se généralise encore, cependant avec une restriction : puisque les modules sur les anneaux non commutatifs peuvent être des modules à droite ou à gauche, nos combinaisons linéaires peuvent également être écrites à droite ou à gauche, c'est-à-dire avec des scalaires placés à droite ou à gauche, selon la nature du module.

Une adaptation plus compliquée survient lorsque E est un bimodule sur deux anneaux, K_G et K_D. Dans ce cas, la combinaison linéaire la plus générale ressemble à a₁v₁b₁ + … + a_nv_nb_n, où a₁, …, a_n appartiennent à K_G, b₁, …, b_n appartiennent à K_D et v₁, …, v_n appartiennent à E.

• Combinaison barycentrique
• Combinaison convexe