Support de fonction

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction à valeurs complexes, définie sur un espace topologique ${\displaystyle X}$.

Définition[1] : On appelle support de ${\displaystyle f}$, noté ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$, l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels la fonction ne s'annule pas.

${\displaystyle \operatorname {supp} (f):={\overline {\{x\in X\mid f(x)\neq 0\}}}}$.

C'est donc une partie fermée de X.

Les fonctions continues à support compact ont des propriétés souvent utiles.

• Les fonctions C^∞ à support compact sont utilisées pour construire des suites régularisantes. Celles-ci permettent, via un produit de convolution, d'approcher une fonction donnée par une suite de fonctions régulières.
• Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Les fonctions ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact sont denses dans l'espace ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}(\Omega )}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$. On peut donc penser à démontrer des propriétés des espaces ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ en utilisant un argument de densité : on démontre d'abord la propriété sur les fonctions ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact et ensuite on passe à la limite.
• L'espace des fonctions ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact sur un ouvert ${\displaystyle \Omega }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, est noté ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$. Mais certains auteurs utilisent d'autres notations comme ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ ou ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$. En fait, les distributions sont définies comme étant les éléments du dual topologique de ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$, muni d'une topologie adéquate.
• Sur un espace métrique, les fonctions continues numériques à support compact sont uniformément continues. C'est le théorème de Heine.

Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ et ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ une fonction mesurable.

Proposition : On considère l'ouvert ${\displaystyle \omega }$ de ${\displaystyle \Omega }$ constitué des points au voisinage desquels ${\displaystyle f=0}$ p.p.. Alors, ${\displaystyle f=0~p.p.}$ sur ${\displaystyle \omega }$.

Définition : Le support essentiel de ${\displaystyle f}$ est : ${\displaystyle \operatorname {supp} _{\mathrm {ess} }(f):={\Omega \setminus \omega }}$.

Remarque : si ${\displaystyle g=f~p.p.}$ sur ${\displaystyle \Omega }$, grâce à la proposition ci-dessus, on constate que ${\displaystyle \operatorname {supp} _{\mathrm {ess} }(g)=\operatorname {supp} _{\mathrm {ess} }(f)}$ et donc le support essentiel d'une fonction mesurable est indépendant du représentant choisi.

• Dans le cas d'une fonction continue, on vérifie aisément que le support essentiel coïncide avec le support (voir supra).
• Ce n'est plus nécessairement le cas si ${\displaystyle f}$ n'est pas continue.

  Par exemple, considérons la fonction de Dirichlet ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$, c.-à-d. la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels. Son support est ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mais son support essentiel est vide. En effet, comme la mesure de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est nulle, ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }=0~p.p.}$.

Les exemples les plus courants d'ensembles de fonctions mesurables sont les espaces L^p. Plus exactement, tous les éléments d'un espace L^p sont des classes d'égalité presque partout de fonctions mesurables.

Proposition : Soient ${\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ et ${\displaystyle g\in \mathrm {L} ^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ avec ${\displaystyle 1\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\leq 2}$. Alors

${\displaystyle \operatorname {supp} (f*g)\subset {\overline {\operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}}}$

Remarques :

• Le produit de convolution de deux fonctions à support compact est à support compact.
• En général, si l'un des supports seulement est compact, alors ${\displaystyle f*g}$ n'est pas à support compact.

Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ une distribution. On dit que ${\displaystyle T}$ est nulle sur un ouvert ${\displaystyle U\subset \Omega }$ lorsque, pour toute fonction test ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}$ dont le support (comme précédemment défini) est inclus dans ${\displaystyle U}$, on a ${\displaystyle \langle T,\phi \rangle =0}$.

Définition : On appelle support d'une distribution ${\displaystyle T}$ sur ${\displaystyle \Omega }$ le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel ${\displaystyle T}$ est nulle. On le note ${\displaystyle \operatorname {supp} (T)}$.

Remarque : Le support est bien défini, car si une distribution est nulle sur chacun des ouverts d'une famille, elle est nulle sur leur réunion ; son support est donc le complémentaire de la réunion de tous les ouverts sur lesquels elle est nulle.

• Si ${\displaystyle T}$ est une fonction continue, alors le support ici défini est identique aux supports introduits précédemment pour les fonctions continues.
• Si ${\displaystyle T}$ est une mesure ou une mesure de probabilité, le support ici défini est identique à celui précédemment défini pour les mesures.
• Si ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{p}}$ est un multi-indice, la distribution ${\displaystyle D^{\alpha }\delta _{a}}$ obtenue par différentiation de la mesure de Dirac au point ${\displaystyle a}$, a un support réduit au point ${\displaystyle a}$.

Intuitivement, le support singulier d'une distribution peut être compris comme l'ensemble des points où la distribution ne peut pas être une identifiée à une fonction. Il s'agit là d'une notion différente de celle introduite jusqu'à présent.

Définition : On appelle support singulier d'une distribution ${\displaystyle T}$, et on note : ${\displaystyle \operatorname {supp~sing} (T)}$ le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel ${\displaystyle T}$ est une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Exemple : ${\displaystyle \operatorname {supp~sing} (vp{\frac {1}{x}})=\left\{0\right\}}$ où la distribution ${\displaystyle vp~{\frac {1}{x}}}$ est définie par ${\displaystyle vp~{\frac {1}{x}}(\phi )=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{\left|x\right|>\epsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$ pour toute fonction ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}$. Ici ${\displaystyle vp}$ désigne la valeur principale de Cauchy.

Pour les distributions de plusieurs variables, le support singulier permet de définir des fronts d'ondes et de comprendre le principe de Huygens en termes d'analyse mathématique.

La notion de support singulier permet d'expliquer l'impossibilité de multiplier des distributions : en gros, pour que la multiplication de deux distributions soit possible, il faut que leurs supports singuliers soient disjoints.