Mesure régulière

Une mesure (positive) ${\displaystyle \mu }$ définie sur une tribu contenant la tribu borélienne d'un espace séparé X est dite régulière lorsqu'elle est à la fois intérieurement régulière et extérieurement régulière[1], c'est-à-dire lorsque :

1. pour tout élément ${\displaystyle A\subset X}$ de la tribu, ${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (K)\,\mid \,K{\hbox{ compact contenu dans }}A\}}$ ;
2. pour tout élément ${\displaystyle A\subset X}$ de la tribu, ${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (O)\,\mid \,O{\hbox{ ouvert contenant }}A\}}$.

Diverses sources exigent en outre d'une « mesure régulière » d'être une mesure de Borel[2].

Deux résultats assurent la régularité des mesures sur deux grandes familles d'espaces.

Théorème : sur un espace localement compact dans lequel tout ouvert est σ-compact, toute mesure de Borel est régulière[3].

La condition topologique de ce théorème peut paraître assez technique, mais elle est entraînée par des hypothèses plus familières : ainsi peut-on vérifier qu'elle sera remplie par un espace localement compact séparé à base dénombrable[4], et a fortiori par un espace métrique compact[5].

Théorème : sur un espace polonais toute mesure borélienne finie est régulière[6].