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Distribution (mathématiques)

En analyse mathĂ©matique, une distribution (Ă©galement appelĂ©e fonction gĂ©nĂ©ralisĂ©e) est un objet qui gĂ©nĂ©ralise la notion de fonction et de mesure. La thĂ©orie des distributions Ă©tend la notion de dĂ©rivĂ©e Ă  toutes les fonctions localement intĂ©grables et au-delĂ , et est utilisĂ©e pour formuler des solutions Ă  certaines Ă©quations aux dĂ©rivĂ©es partielles. Elles sont importantes en physique et en ingĂ©nierie oĂč beaucoup de problĂšmes discontinus conduisent naturellement Ă  des Ă©quations diffĂ©rentielles dont les solutions sont des distributions plutĂŽt que des fonctions ordinaires.

La thĂ©orie des distributions fut formalisĂ©e par le mathĂ©maticien français Laurent Schwartz et lui valut la mĂ©daille Fields en 1950. Son introduction utilise des notions d'algĂšbre linĂ©aire et de topologie centrĂ©es autour de l'idĂ©e de dualitĂ©. Il faut chercher l'origine de cette thĂ©orie dans le calcul symbolique de Heaviside (1894) et PoincarĂ© (1912[1]), et dans l'introduction par les physiciens de la « fonction de Dirac » (1926). L'objectif a Ă©tĂ© alors de gĂ©nĂ©raliser la notion de fonction, afin de donner un sens mathĂ©matique correct Ă  ces objets manipulĂ©s par les physiciens, en gardant en plus la possibilitĂ© de faire des opĂ©rations telles que des dĂ©rivations, convolutions, transformĂ©es de Fourier ou de Laplace. Jacques Hadamard, Salomon Bochner et SergueĂŻ Sobolev ont Ă©tĂ© les artisans successifs de cette Ɠuvre dont le dernier volet est dĂ» Ă  Laurent Schwartz[2]. Cette gĂ©nĂ©ralisation de la notion de fonction a Ă©tĂ© poursuivie en des directions diverses, et a notamment donnĂ© lieu Ă  la notion d'hyperfonction due Ă  Mikio Satƍ. Une autre voie a conduit aux distributions de Colombeau (en), saluĂ©es par Laurent Schwartz lui-mĂȘme comme Ă©tant la dĂ©couverte du bon point de vue fonctoriel sur les distributions. En particulier, contrairement Ă  ce qui se passe pour les distributions de Schwartz, la multiplication est enfin pleinement dĂ©finie sur les distributions de Colombeau.

La distribution de Dirac est un exemple intĂ©ressant de distribution car elle n'est pas une fonction, mais peut ĂȘtre reprĂ©sentĂ©e de façon informelle par une fonction dĂ©gĂ©nĂ©rĂ©e qui serait nulle sur tout son domaine de dĂ©finition sauf en 0 et dont l'intĂ©grale vaudrait 1. En rĂ©alitĂ©, de maniĂšre tout Ă  fait stricte, elle est la limite au sens des distributions d'une suite de fonctions d'intĂ©grale 1 et convergeant uniformĂ©ment vers 0 sur tout compact ne contenant pas 0. Un tel objet mathĂ©matique est utile en physique ou en traitement du signal, mais aucune fonction ordinaire n'a ces propriĂ©tĂ©s.

Idées de base

On évalue habituellement une fonction en calculant sa valeur en un point. Toutefois cette méthode fait jouer un rÎle considérable aux irrégularités (discontinuités par exemple) de la fonction. L'idée sous-jacente à la théorie des distributions est qu'il existe un meilleur procédé d'évaluation : calculer une moyenne des valeurs de la fonction dans un domaine de plus en plus resserré autour du point d'étude. En envisageant des moyennes pondérées, on est donc conduit à examiner des expressions de la forme

dans laquelle la fonction à évaluer est une fonction localement intégrable et est une fonction appelée « fonction test », indéfiniment dérivable et identiquement nulle en dehors d'un ensemble borné.

L'intĂ©grale est un nombre rĂ©el qui dĂ©pend de façon linĂ©aire et continue de On voit donc que l'on peut associer Ă  une fonction intĂ©grable une forme linĂ©aire continue sur l'espace des fonctions test. Deux fonctions localement intĂ©grables et qui donnent la mĂȘme forme linĂ©aire continue sont Ă©gales presque partout. Ce qui signifie qu'il revient au mĂȘme de connaĂźtre (Ă  un ensemble nĂ©gligeable prĂšs) ou la forme linĂ©aire d'Ă©valuation des fonctions test associĂ©es.

D'une maniÚre plus générale, si est une mesure de Borel sur les réels et est une fonction test, alors l'intégrale

est un nombre rĂ©el qui dĂ©pend de façon linĂ©aire et continue de Les mesures peuvent aussi ĂȘtre associĂ©es Ă  des formes linĂ©aires continues sur l'espace des fonctions test. Cette notion de « forme linĂ©aire continue sur l'espace des fonctions test » est par consĂ©quent utilisĂ©e comme dĂ©finition des distributions.

Les distributions peuvent ĂȘtre multipliĂ©es par un rĂ©el quelconque et additionnĂ©es entre elles. L'ensemble des distributions forme ainsi un espace vectoriel rĂ©el. Il n'est pas possible de dĂ©finir en gĂ©nĂ©ral le produit de deux distributions en tant que gĂ©nĂ©ralisation du produit ponctuel de deux fonctions, mais les distributions peuvent ĂȘtre multipliĂ©es par des fonctions indĂ©finiment dĂ©rivables.

Espace des fonctions tests

Soit Ω un ouvert non vide de ℝN. Une fonction test sur Ω est une fonction de Ω dans ℝ, indĂ©finiment dĂ©rivable et Ă  support compact.

Exemple
Sur Ω = ℝN, la fonctionest C∞ et son support est la boule fermĂ©e B(0, 1) pour la norme ║.║ utilisĂ©e.

On note l'espace vectoriel des fonctions tests sur Ω et on le munit de la topologie suivante : les voisinages d'un Ă©lĂ©ment de l'espace sont — comme dans tout groupe topologique — les translatĂ©s par cet Ă©lĂ©ment des voisinages de 0, et un ensemble est un voisinage de la fonction nulle si, pour tout compact K de Ω, il existe un entier m > 0 tel que V contienne l'ensemble suivant :

oĂč dĂ©signe l'ensemble des fonctions de dont le support est inclus dans K, et ‖f‖∞ est la norme de f au sens de la convergence uniforme (pour f continue Ă  support compact, c'est le maximum global de |f|).

Autrement dit, si Ω est la rĂ©union d'une suite croissante de compacts Kn, une base de voisinages de 0 est constituĂ©e des , quand parcourt l'ensemble (non dĂ©nombrable) des suites Ă  valeurs dans ℕ*.

Muni de cette topologie, est un espace localement convexe, non mĂ©trisable[3] puisqu'il est maigre dans lui-mĂȘme et sĂ©quentiellement complet[3] (il est mĂȘme complet[4]).

Dans la convergence vers 0 d'une suite de fonctions φn se traduit par l'existence d'un compact K de Ω, contenant les supports de toutes les φn Ă  partir d'un certain rang, et tel que φn ainsi que toutes ses dĂ©rivĂ©es tendent vers 0 uniformĂ©ment sur K.

Distributions

DĂ©finition

Une distribution sur est une forme linéaire continue sur L'ensemble des distributions sur est donc le dual topologique de c'est pourquoi on le note

L'une des topologies naturelles d'espace localement convexe sur ce dual est la topologie faible-* (celle de la convergence simple sur ).

Caractérisations

Pour une forme linéaire T sur la continuité en 0 suffit à garantir la continuité globale.

Par définition de la topologie de , T est continue (en 0) si et seulement si, pour tout compact K de Ω,

Par ailleurs, si T est continue alors elle est séquentiellement continue (en 0), c'est-à-dire que pour toute suite de fonctions

Mais puisque est un espace bornologique, cette condition nĂ©cessaire — bien plus maniable — est Ă©galement suffisante.

Notation

Si est une distribution et une fonction test de le nombre est noté

Ordre d'une distribution

Une distribution T sur Ω est dite d'ordre inférieur ou égal à un entier naturel p si, pour tout compact K de Ω,

c'est-Ă -dire si le NK dans la caractĂ©risation de la continuitĂ© de T peut toujours ĂȘtre pris Ă©gal Ă  p.

Elle est bien sĂ»r dite d'ordre p si elle est d'ordre infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  p mais pas Ă  p – 1, et d'ordre infini si elle n'est d'ordre infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  aucun entier.

Exemples

Un exemple de distribution d'ordre infini sur ℝ est

Les distributions d'ordre 0 sont celles qui se prolongent en des mesures de Radon (signées)[5]. En voici quelques exemples :

  • les distributions positives (en), comme la distribution de Dirac (en 0) dĂ©finie par ;
  • toute distribution « rĂ©guliĂšre », c'est-Ă -dire toute distribution Tf associĂ©e Ă  une fonction localement intĂ©grable f par :L'application linĂ©aire (continue) de L1loc(Ω) dans Ă©tant injective, on pourra confondre f et Tf.
    Un exemple célÚbre de distribution réguliÚre est celle associée à la fonction de Heaviside que l'on note Y ou H, définie par :

DĂ©rivation des distributions

Pour dĂ©finir la dĂ©rivĂ©e d'une distribution, considĂ©rons d'abord le cas d'une distribution rĂ©guliĂšre sur ℝ dont la densitĂ© f est de classe C1. Soit Une intĂ©gration par parties permet d'Ă©crire :

En effet, puisque la fonction φ est nulle en dehors d'un ensemble bornĂ©, les termes de bords s'annulent.

Si est une distribution sur un ouvert de ℝn, cet exemple suggĂšre de dĂ©finir sa k-iĂšme dĂ©rivĂ©e partielle par :

Cette dĂ©finition Ă©tend la notion classique de dĂ©rivĂ©e : chaque distribution devient indĂ©finiment dĂ©rivable (l'application linĂ©aire est mĂȘme continue de dans lui-mĂȘme) et la rĂšgle de Leibniz est vĂ©rifiĂ©e (pour les dĂ©rivĂ©es de la distribution , produit de T par une fonction ψ indĂ©finiment dĂ©rivable), ainsi que l'analogue du thĂ©orĂšme de Schwarz. De plus, si T est d'ordre p alors est d'ordre infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  p + 1.

Par exemple la dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac en 0.

Alternativement et plus généralement, la dérivée de T suivant un vecteur h peut se définir par :

(La translation par un vecteur v est dĂ©finie sur les distributions — en s'inspirant, lĂ  aussi, du cas des distributions rĂ©guliĂšres — comme la transposĂ©e de la translation par –v sur les fonctions tests[6] :

En effet, pour toute fonction test

Toute distribution T sur ℝ possĂšde des primitives (c'est-Ă -dire des distributions dont la dĂ©rivĂ©e est T), et deux d'entre elles diffĂšrent d'une constante[7].

Pour qu'une distribution sur ℝ ait pour dĂ©rivĂ©e une mesure, il faut et il suffit qu'elle soit une fonction Ă  variation bornĂ©e sur tout intervalle bornĂ©[8].

Si F est une fonction absolument continue sur ℝ, de dĂ©rivĂ©e presque partout f, alors la distribution rĂ©guliĂšre Tf est la dĂ©rivĂ©e de TF. RĂ©ciproquement, si une distribution T a pour dĂ©rivĂ©e une distribution rĂ©guliĂšre Tf alors T = TF avec F absolument continue, intĂ©grale indĂ©finie de f ; en presque tout point, et en tout point oĂč f est continue, F est dĂ©rivable et de dĂ©rivĂ©e f[9].

La dérivée au sens des distributions des fonctions appartenant à l'espace Lp intervient dans la définition des espaces de Sobolev.

Lorsque la distribution T modĂ©lise un phĂ©nomĂšne physique, la fonction test φ peut s'interprĂ©ter comme un instrument de mesure, 〈T, Ï†ă€‰ en Ă©tant le rĂ©sultat ; la dĂ©finition ci-dessus reprĂ©sente alors la mesure expĂ©rimentale (au moins de pensĂ©e) de la dĂ©rivĂ©e du phĂ©nomĂšne T Ă  l'aide de l'instrument φ.

Distributions particuliĂšres

Deux classes particuliĂšres de distributions d'ordre fini sont particuliĂšrement utiles (la premiĂšre est incluse dans la seconde) :

Distributions Ă  support compact

On note — ou — l'espace de FrĂ©chet des fonctions indĂ©finiment dĂ©rivables sur Ω. Son dual topologique s'identifie de la maniĂšre suivante Ă  l'ensemble des distributions Ă  support compact : l'inclusion continue et d'image dense, induit une injection linĂ©aire dont l'image est exactement le sous-espace vectoriel des distributions T telles que supp(T) soit compact, supp dĂ©signant ici le support d'une distribution.

Distributions tempérées

Les distributions tempĂ©rĂ©es sont celles qui s'Ă©tendent continĂ»ment Ă  l'espace de Schwartz. Elles jouent un rĂŽle trĂšs important car la notion de transformĂ©e de Fourier peut ĂȘtre Ă©tendue Ă  ces derniĂšres.

ThéorÚmes de structure

Les thĂ©orĂšmes sur la structure locale et globale des distributions ont « Ă©videmment une grande importance aussi bien thĂ©orique que pratique » et sont « trĂšs utilisables dans la pratique mĂȘme sans aucune connaissance de leur dĂ©monstration »[10], qui n'est pas Ă©lĂ©mentaire[11].

Localement, les distributions ne sont autres que les « dérivées » (au sens des distributions, et à un ordre quelconque) des fonctions continues :

ThĂ©orĂšme —

  • Structure locale d'une distribution — « Une distribution sur ℝN est Ă©gale, dans tout ouvert Ω de ℝN d'adhĂ©rence Ω compacte, Ă  une dĂ©rivĂ©e d'une fonction continue, dont le support peut ĂȘtre choisi dans un voisinage arbitraire de Ω[12]. »
  • Structure d'une distribution tempĂ©rĂ©e — Une distribution sur ℝN est tempĂ©rĂ©e si et seulement si c'est une dĂ©rivĂ©e d'une fonction continue Ă  croissance lente, c'est-Ă -dire du produit d'un polynĂŽme par une fonction continue bornĂ©e[13].
  • Structure d'une distribution Ă  support compact — « Toute distribution T [sur Ω] Ă  support compact K peut ĂȘtre, d'une infinitĂ© de maniĂšres, reprĂ©sentĂ©e, dans tout l'espace ℝN, par la somme d'un nombre fini de dĂ©rivĂ©es de fonctions continues, ayant leurs supports dans un voisinage arbitraire U de K[14]. »

Dans l'expression d'une distribution Ă  support compact, la somme pourrait, comme pour les distributions tempĂ©rĂ©es, ĂȘtre ramenĂ©e Ă  un seul terme par intĂ©gration, au prix parfois d'une augmentation de l'ordre de dĂ©rivation (par exemple ∂(1, 0)g + ∂(0,1)h peut ĂȘtre transformĂ© en ∂(1, 1)f)[15] mais surtout, en perdant la propriĂ©tĂ© de compacitĂ© du support de la fonction, « ce qui lui ĂŽterait tout intĂ©rĂȘt[16] ». Par exemple, la distribution de Dirac n'est la dĂ©rivĂ©e itĂ©rĂ©e d'aucune fonction continue Ă  support compact[11].

On dĂ©duit de l'Ă©noncĂ© sur les distributions Ă  support compact un analogue en remplaçant « fonctions continues » par « mesures »[14], que l'on peut amĂ©liorer, si K est « assez rĂ©gulier », en remplaçant de plus « supports dans un voisinage arbitraire de K » par « supports dans K »[17]. Sans hypothĂšse de rĂ©gularitĂ©, on peut au moins affirmer que pour toute distribution T Ă  support compact K et toute fonction test φ, la valeur de 〈T, Ï†ă€‰ ne dĂ©pend que des restrictions Ă  K des dĂ©rivĂ©es d'ordre ≀ p de φ, oĂč p est l'ordre de la distribution T[18]. En appliquant cette propriĂ©tĂ©, ou bien en utilisant que l'hypothĂšse de rĂ©gularitĂ© est satisfaite dĂšs que K est convexe, on trouve[19] :

Distributions Ă  support ponctuel — Soient T une distribution de support inclus dans un singleton , et p son ordre. Alors, il existe une suite multi-indicĂ©e finie de scalaires telle que

Cette suite de scalaires est unique, puisque cette décomposition de T entraßne :

À l'aide d'une partition de l'unitĂ©, la structure des distributions Ă  support compact permet de prĂ©ciser facilement[11] celle des distributions quelconques :

Structure globale d'une distribution — Toute distribution T peut ĂȘtre dĂ©composĂ©e en une somme infinie convergente de dĂ©rivĂ©es de fonctions continues dont les supports sont compacts, s'Ă©loignent indĂ©finiment, et sont contenus dans un voisinage arbitraire du support de T[20].

Convolution des distributions

Convolution d'une distribution par une fonction test

Le produit de convolution par une fonction test s'étend facilement des fonctions localement intégrables aux distributions.

DĂ©finition

La convoluĂ©e d'une distribution et d'une fonction test est la fonction de classe C∞ sur ℝN dĂ©finie par :

oĂč l'antipodie sur les fonctions tests est la composition par l'homothĂ©tie z ↩ – z :

Exemple

Pour , la distribution de Dirac en a, c'est-Ă -dire

on obtient :

Propriétés

  • La rĂ©gularitĂ© de vient de celle de et ses dĂ©rivĂ©es sont donnĂ©es par
  • La convolution garde sa propriĂ©tĂ© de majoration du support :

En particulier si T est à support compact, alors est une fonction test, si bien que la convolution par une unité approchée convenable « nous donne un procédé linéaire régulier pour approcher une distribution par une suite de fonctions indéfiniment dérivables[21] » à supports compacts.

Dans ce cas de convolution, nous ne pouvons parler de commutativité, ni d'associativité car la fonction obtenue n'est pas nécessairement à support compact.

DĂ©finition

La convoluĂ©e d'une distribution et d'une distribution Ă  support compact est la distribution sur ℝN dĂ©finie par :

oĂč est dĂ©finie sur les distributions comme la transposĂ©e de l'antipodie sur les fonctions tests :

Propriétés

  • Via l'inclusion de dans , cette convolution Ă©tend la prĂ©cĂ©dente.
  • Elle a toujours la propriĂ©tĂ© de majoration du support :En particulier, l'opĂ©ration de convolution est donc interne Ă 
  • La convolution est commutative. En dĂ©finissant la distribution par la formulealors
  • La convolution est associative. Soient trois distributions sur ℝN, dont au moins deux sont Ă  support compact. Alors
  • La dĂ©rivation d'un produit de convolution s'effectue comme suit. Pour tout multi-indice
  • L'application bilinĂ©aire qui au couple associe est continue lorsqu'on la restreint aux S Ă  support dans un compact fixe[22].

Exemple

Pour toute distribution et tout vecteur a de ℝN,

En particulier (pour a = 0), la distribution de Dirac est neutre pour la convolution, donc l'anneau commutatif est unifĂšre.

Distributions vectorielles

Une distribution Ă  valeurs dans l'espace vectoriel ℝm peut se dĂ©finir comme un Ă©lĂ©ment de ou, de façon Ă©quivalente, un Ă©lĂ©ment de , les topologies produit correspondantes Ă©tant utilisĂ©es. La deuxiĂšme forme de cette dĂ©finition permet d'exprimer trĂšs simplement les opĂ©rateurs de dĂ©rivation couramment utilisĂ©s dans le domaine des Ă©quations aux dĂ©rivĂ©es partielles en formulation faible et la dĂ©finition de certains espaces de Sobolev, en particulier les opĂ©rateurs gradient (), divergence () et rotationnel () lorsque ; en notant et , on a les relations, :

Lorsque ces distributions sont définies par des fonctions, le résultat de ces dérivations est généralement constitué d'une distribution réguliÚre plus des distributions singuliÚres sur les supports desquelles s'expriment des discontinuités qui concernent, au moins lorsque ces supports sont des surfaces, la trace pour le gradient, la trace normale pour la divergence et la trace tangentielle pour le rotationnel. Ces décompositions sont connues sous la dénomination générique de formules de Green.

Notes et références

  1. H. PoincarĂ©, « Sur la thĂ©orie des quanta », Journal de physique thĂ©orique et appliquĂ©e, 5e sĂ©rie, t. 2, p. 5−34 (chap. 6).
  2. Jean-Michel Kantor (de), « MathĂ©matiques d'Est en Ouest – ThĂ©orie et pratique : l’exemple des distributions », p. 33-43 et Adolphe P. Yuskevitch, « Quelques remarques sur l'histoire de la thĂ©orie des solutions gĂ©nĂ©ralisĂ©es d'Ă©quations aux dĂ©rivĂ©es partielles et des fonctions gĂ©nĂ©ralisĂ©es] », p. 44-50, Gazette des mathĂ©maticiens, no 100, avril 2004.
  3. (en) Philippe Blanchard et Erwin BrĂŒning, Mathematical Methods in Physics : Distributions, Hilbert Space Operators, and Variational Methods, Springer, , 471 p. (ISBN 978-0-8176-4228-0, lire en ligne), p. 20.
  4. Comme limite inductive stricte des : N. Bourbaki, ÉlĂ©ments de mathĂ©matique : Espaces vectoriels topologiques, Springer, , 368 p. (ISBN 3-540-34497-7, lire en ligne), III.9-III.10.
  5. (en) Abdellah El Kinani et Mohamed Oudadess, Distribution Theory and Applications, World Scientific, (lire en ligne), p. 19.
  6. Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, (1re éd. 1950-1951), p. 55.
  7. Schwartz 1966, p. 51.
  8. Schwartz 1966, p. 53.
  9. Schwartz 1966, p. 54.
  10. Schwartz 1966, p. 63.
  11. (en) Robert S. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, World Scientific, , 226 p. (ISBN 978-981-238-430-0, lire en ligne), p. 85.
  12. Schwartz 1966, p. 82.
  13. Schwartz 1966, p. 239.
  14. Schwartz 1966, p. 91.
  15. Strichartz 2003, p. 84.
  16. Schwartz 1966, p. 92.
  17. Schwartz 1966, p. 99.
  18. Schwartz 1966, p. 93.
  19. Schwartz 1966, p. 100.
  20. Schwartz 1966, p. 96.
  21. Schwartz 1966, p. 166 (voir aussi p. 75).
  22. Schwartz 1966, p. 157-158.

Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann,

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

[PDF](en) Lecture Notes on Real Analysis (cours de Master 1 d'introduction aux distributions) par Nicolas Lerner, professeur Ă  Paris 6.

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