Multi-indice
En mathématiques, les multi-indices généralisent la notion d'indice entier en permettant d'envisager plusieurs variables entiÚres pour une indexation. L'utilisation des multi-indices a pour but de simplifier les formules qu'on rencontre dans le calcul à plusieurs variables, que ce soit pour le calcul polynomial ou en analyse vectorielle.
Un multi-indice de taille n est un vecteur
Ă coefficients entiers positifs.
Au multi-indice α est associé
sa longueur (parfois appelée module) , définie par :
Notations adaptées
On utilise pour un vecteur de composantes ,
une notation sous forme d'exponentiation pour représenter le calcul polynomial
Et on peut introduire l'opérateur différentiel
Il faut prendre garde à n'utiliser cette notation que dans le cas de fonctions pour lesquelles l'ordre des dérivations n'importe pas (c'est-à -dire vérifiant par exemple les conditions du théorÚme de Schwarz).
Plus généralement, on peut définir un opérateur différentiel d'ordre N pour n variables par une formule telle que
Pour écrire les formules classiques, on introduit une multi-factorielle généralisant la factorielle :
Et il est possible de généraliser les coefficients binomiaux :
- !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}
Les coefficients multinomiaux peuvent Ă©galement s'Ă©crire Ă l'aide d'une notation multi-indice :
- !}}}
oĂč
Enfin pour décrire les domaines d'indexation il est utile de donner une relation d'ordre partielle sur les multi-indices
Avec ces notations un certain nombre de formules classiques s'écrivent de façon relativement compacte et admettent des généralisations vectorielles.
Calcul polynomial
Généralisation de la formule du binÎme de Newton
On peut Ă©galement donner une Ă©criture compacte de la formule du multinĂŽme
- !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}
Il est souvent utile de disposer de l'effet d'un opérateur différentiel sur un monÎme
Calcul infinitésimal
Généralisation de la formule de Leibniz pour deux fonctions numériques suffisamment réguliÚres u, v
Il en découle une formule d'intégration par parties : pour des fonctions suffisamment réguliÚres dont l'une au moins est à support compact il vient
Formule qui est utile par exemple en distribution.
Ăcriture des diffĂ©rentes formules de Taylor: pour une fonction suffisamment rĂ©guliĂšre
oĂč l'expression du dernier terme (reste) dĂ©pend de la formule utilisĂ©e. Par exemple pour la formule avec reste intĂ©gral il vient
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