Opérateur différentiel

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée ${\displaystyle x_{k}}$ par le symbole :

${\displaystyle \partial _{k}\ =\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}}$

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel ${\displaystyle \mathrm {D} _{k}}$ du premier ordre défini par :

${\displaystyle \mathrm {D} _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}}$

Dans cette définition, ${\displaystyle \mathrm {i} }$ est la « racine de l'unité » complexe : ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$. L'intérêt de définir cet opérateur ${\displaystyle \mathrm {D} _{k}}$ apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice ${\displaystyle \alpha }$ est un ${\displaystyle n}$-uplet d'entiers

${\displaystyle \alpha \ =\ \left(\alpha _{1},\ \dots ,\ \alpha _{n}\right)\$ ;\quad \ \alpha _{k}\,\in \,\mathbb {N} }

Sa longueur ${\displaystyle |\alpha |}$ est définie comme la somme des ${\displaystyle \alpha _{i}}$ et on définit enfin la multi-factorielle :

${\displaystyle \alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!}$

• La dérivée partielle d'ordre ${\displaystyle \alpha _{k}}$ par rapport à la coordonnée ${\displaystyle x_{k}}$ correspond au symbole :

${\displaystyle \partial _{k}^{\alpha _{k}}}$

• On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global ${\displaystyle |\alpha |}$ :

${\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =\ \partial _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \partial _{n}^{\alpha _{n}}}$

• Et les opérateurs différentiels ${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }}$, d'ordre global ${\displaystyle |\alpha |}$ :

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }\ =\ \mathrm {D} _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \mathrm {D} _{n}^{\alpha _{n}}}$

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre ${\displaystyle m}$ est défini par :

${\displaystyle {\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \mathrm {D} ^{\alpha }}$

où les ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ sont des fonctions de ${\displaystyle n}$ variables, appelées coefficients de l'opérateur ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$.

Un opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est local au sens où, pour déterminer ses effets ${\displaystyle {\mathfrak {D}}\,f(x)}$ sur une fonction ${\displaystyle f(x)}$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point ${\displaystyle x}$ est nécessaire.

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction ${\displaystyle f(x)}$ de ${\displaystyle n}$ variables ${\displaystyle x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)}$ par :

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} x\ \mathrm {e} ^{-\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ f(x)}$

Dans cette définition :

• on note ${\displaystyle \xi }$ le ${\displaystyle n}$-uplet constitué des variables : ${\displaystyle \xi _{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)}$.
• la mesure est : ${\displaystyle \mathrm {d} x=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} x_{k}}$.
• le facteur ${\displaystyle \langle \xi \,,\,x\rangle }$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :${\displaystyle \langle \xi \,,\,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,\xi _{k}}$.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

${\displaystyle f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {f}}(\xi )}$

où la mesure est : ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\quad }$ avec ${\displaystyle \mathrm {d} \xi =\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} \xi _{k}}$.

On applique l'opérateur différentiel ${\displaystyle \mathrm {D} _{k}=-\,\mathrm {i} \,\partial _{k}}$ à la représentation de Fourier de la fonction ${\displaystyle f}$. En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

${\displaystyle \mathrm {D} _{k}\,f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \left(\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )}$

qu'on peut écrire : ${\displaystyle ({\widehat {\mathrm {D} _{k}\,f}})(\xi )=\xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )}$. On en déduit que :

${\displaystyle ({\widehat {\mathrm {D} ^{\alpha }\,f}})(\xi )\ =\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}$

où : ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\ \times \ \dots \ \times \ \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$. L'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ d'ordre ${\displaystyle m}$ vérifie donc la relation :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}$

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )}$

On appelle symbole de l'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ d'ordre ${\displaystyle m}$ la fonction ${\displaystyle \sigma (x,\xi )}$ des ${\displaystyle 2n}$ variables ${\displaystyle (x,\xi )}$ polynomiale en ${\displaystyle \xi }$ de degré ${\displaystyle m}$ :

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }}$

de telle sorte que :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}$

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ à partir de son symbole ${\displaystyle \sigma }$. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ ne sont pas constants, le symbole ${\displaystyle \sigma (x,\xi )}$ dépend des coordonnées d'espace ${\displaystyle x}$, et l'expression ${\displaystyle \sigma (x,\xi )\,{\hat {f}}(\xi )}$ n'est pas la transformée de Fourier de ${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)}$, c’est-à-dire que :

${\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}$

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ d'ordre ${\displaystyle m}$ la fonction :

${\displaystyle \sigma _{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }}$

L'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est dit elliptique au point ${\displaystyle x\ \in \ \Omega }$ si et seulement si :

${\displaystyle \forall \ \xi \ \in \ \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\ ,\quad \sigma _{m}(x,\xi )\ \neq \ 0}$

${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est dit elliptique dans ${\displaystyle \Omega }$ s'il est elliptique pour tout point ${\displaystyle x\ \in \ \Omega }$.

L'opérateur différentiel ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est dit hyperbolique dans la direction ${\displaystyle \eta }$ au point ${\displaystyle x\ \in \ \Omega }$ si et seulement si : ${\displaystyle \sigma _{m}(x,\eta )\neq 0}$ et si, pour tout ${\displaystyle \xi }$ non colinéaire à ${\displaystyle \eta }$, les racines ${\displaystyle \lambda _{i}}$ de l'équation :

${\displaystyle \sigma _{m}(x,\ \xi \ +\ \lambda \,\eta )\ =\ 0}$

sont toutes réelles. Si, de plus, les ${\displaystyle m}$ racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est dit strictement hyperbolique dans la direction ${\displaystyle \eta }$.

${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction ${\displaystyle \eta }$ dans ${\displaystyle \Omega }$ s'il est strictement hyperbolique dans la direction ${\displaystyle \eta }$ pour tout point ${\displaystyle x\ \in \ \Omega }$.

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

• en coordonnées cartésiennes dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ :

  ${\displaystyle \Delta \ =\ \sum _{k=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x_{k}^{2}}}}$

• soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :

  ${\displaystyle \Delta \ =\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial z^{2}}}}$

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,t)}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ :

${\displaystyle \Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial t^{2}}}\ -\ \Delta }$

où ${\displaystyle \Delta }$ est le laplacien à ${\displaystyle n}$ variables d'espace, ${\displaystyle t}$ est le temps, et ${\displaystyle c}$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse ${\displaystyle c}$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,t)}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ :

${\displaystyle {\frac {\partial ~}{\partial t}}\ -\ {\tilde {D}}\ \Delta }$

où ${\displaystyle \Delta }$ est le laplacien à ${\displaystyle n}$ variables d'espace, ${\displaystyle t}$ est le temps, et ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Partons de la relation générale :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}$

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

${\displaystyle a_{\alpha }(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )}$

on obtient :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \times \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}$

soit :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}$

A ${\displaystyle \xi }$ fixé, on fait le changement de variable : ${\displaystyle \eta \to t=\xi +\eta }$, ce qui donne :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}$

On reconnait le produit de convolution :

${\displaystyle \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}$

d'où :

${\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)}$

qu'on peut réécrire :

${\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(\xi )}$

• (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
• (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2^e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• (en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (n^o 23), Springer-Verlag, 2^e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

• Opérateur pseudo-différentiel
• Dérivée partielle
• Équation aux dérivées partielles
• Principe fondamental d'Ehrenpreis