Mesure signée

Définition (mesure signée) — Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ un espace mesurable, c'est-à-dire un couple formé d'un ensemble ${\displaystyle X}$ muni d'une tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Une mesure signée sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ est une fonction[1]

${\displaystyle \sigma$ :{\mathcal {A}}\to {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}

qui vérifie les deux propriétés suivantes

• ${\displaystyle \sigma (\varnothing )=0}$ ;
• (sigma additivité) pour toute suite ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ d'ensembles disjoints dans ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ :

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\sigma (A_{n}){\text{ est définie dans }}{\overline {\mathbb {R} }}~~{\text{ et }}~~\sigma \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma (A_{n})}$.

Propriété — Il n'existe pas ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ tels que ${\displaystyle \sigma (A)=-\infty }$ et ${\displaystyle \sigma (B)=+\infty }$.

Propriété — Si ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ est tel que ${\displaystyle \sigma (A)\in \mathbb {R} }$ alors pour tout ${\displaystyle B\subset A,\,B\in {\mathcal {A}},}$ on a aussi ${\displaystyle \sigma (B)\in \mathbb {R} }$.

Propriété (bornée identique à finie) — ${\displaystyle \forall \,A\in {\mathcal {A}},\,\sigma (A)\in \mathbb {R} \Longleftrightarrow \{\sigma (A):\,A\in {\mathcal {A}}\}}$ est borné.

Propriété (relations élémentaires) —

• Si ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ sont tels que ${\displaystyle \sigma (B)\in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle B\subset A}$ alors ${\displaystyle \sigma (A\setminus B)=\sigma (A)-\sigma (B)}$.
• Pour tout ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ on a ${\displaystyle \sigma (A\cup B)+\sigma (A\cap B)=\sigma (A)+\sigma (B)}$.
• Pour tout ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ on a ${\displaystyle \sigma (A\Delta B)+2\sigma (A\cap B)=\sigma (A)+\sigma (B)}$.

Propriété (continuité des mesures signées) — *Si ${\displaystyle (A_{n})_{n}}$ est une suite croissante (pour l'inclusion) d'ensembles mesurables alors

${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\lim _{n}\sigma (A_{n})}$.

• Si ${\displaystyle (A_{n})_{n}}$ est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'ensembles mesurables qui ne sont pas tous de mesure ${\displaystyle \pm \infty }$ alors

${\displaystyle \sigma \left(\bigcap _{n}A_{n}\right)=\lim _{n}\sigma (A_{n})}$.

Définition (ensemble totalement négatif, nul et positif) — Soit ${\displaystyle \sigma }$ une mesure signée sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. On dit que, pour ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle A}$ est

• totalement négatif si pour tout ensemble mesurable ${\displaystyle B\subset A}$ on a ${\displaystyle \sigma (B)\leq 0}$ ;
• totalement nul si pour tout ensemble mesurable ${\displaystyle B\subset A}$ on a ${\displaystyle \sigma (B)=0}$ ;
• totalement positif si pour tout ensemble mesurable ${\displaystyle B\subset A}$ on a ${\displaystyle \sigma (B)\geq 0}$.

Théorème (décomposition de Hahn) — Soit ${\displaystyle \sigma }$ une mesure signée sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Il existe deux ensembles mesurables ${\displaystyle P,N\in {\mathcal {A}}}$ tels que

• ${\displaystyle P\cup N=X}$ ;
• ${\displaystyle P\cap N=\varnothing }$ ;
• ${\displaystyle P}$ est totalement positif pour ${\displaystyle \sigma }$ ;
• ${\displaystyle N}$ est totalement négatif pour ${\displaystyle \sigma }$.

Théorème (décomposition de Jordan) — Soit ${\displaystyle \sigma }$ une mesure signée sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Il existe un unique couple ${\displaystyle (\sigma ^{+},\sigma ^{-})}$ de mesures positives sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ satisfaisant les deux conditions suivantes

• ${\displaystyle \sigma =\sigma ^{+}-\sigma ^{-}}$ ;
• il existe ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ tel que ${\displaystyle \sigma ^{-}(E)=0}$ et ${\displaystyle \sigma ^{+}(X\setminus E)=0}$.

Propriétés de la décomposition de Jordan — Soit ${\displaystyle \sigma }$ une mesure signée sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle (\sigma ^{+},\sigma ^{-})}$ sa décomposition de Jordan. Alors

• Pour toute décomposition de Hahn ${\displaystyle (P,N)}$ et pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on a ${\displaystyle \sigma ^{+}(A)=\sigma (A\cap P)}$ et ${\displaystyle \sigma ^{-}(A)=-\sigma (A\cap N)}$ (cela ne dépend donc pas de la décomposition de Hahn) ;
• pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ on a

${\displaystyle \sigma ^{+}(A)=\sup _{B\subset A,B\in {\mathcal {A}}}\sigma (B)}$ et ${\displaystyle \sigma ^{-}(A)=-\inf _{B\subset A,B\in {\mathcal {A}}}\sigma (B)}$.

Propriété — La fonction ${\displaystyle \sigma \mapsto F_{\sigma }}$ est une bijection de l'ensemble des mesures signées finies sur ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ à l'ensemble des fonctions continues à droite, à variations bornées et tendant vers 0 en ${\displaystyle -\infty }$.

De plus, la variation totale de ${\displaystyle F_{\sigma }}$ correspond à la variation totale de ${\displaystyle \sigma }$, à savoir, ${\displaystyle \vert \vert \sigma \vert \vert _{VT}}$.