Divergence (analyse vectorielle)

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, la divergence d'un champ de vecteurs ${\displaystyle {\vec {A}}={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}$ a pour expression[1]

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}$

Formellement, l'opérateur divergence appliqué à un champ vectoriel ${\displaystyle {\vec {A}}}$ peut s'interpréter comme produit scalaire du vecteur nabla ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ par le vecteur ${\displaystyle {\vec {A}}}$.

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=\operatorname {div} {\vec {A}}={\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {z}}}}$

Cette définition a le désavantage d'être dépendante du choix d'une base orthonormée.

Le flot du champ A est approximativement (pour t petit) donné par

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto F_{t}(x,y,z)=(x,y,z)+tA(x,y,z)}$

Le volume de l'image par ${\displaystyle F_{t}}$ d'un "petit" pavé de centre (x,y,z) est multiplié par le déterminant de la matrice jacobienne de ${\displaystyle F_{t}}$. Mais la dérivée par rapport à t de ce déterminant, pour t=0 est précisément

${\displaystyle {\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}$

Elle utilise les formes différentielles. Dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ le volume d'un domaine s'obtient en intégrant sur ce domaine la forme différentielle ${\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$. Soit ${\displaystyle \phi _{t}}$ le flot du champ A.

La variation infinitésimale du volume est alors

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{t}^{\ast }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)_{\mid t=0}}$

C'est par définition la dérivée de Lie ${\displaystyle L_{A}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)}$ de ${\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$.

On vérifie que

${\displaystyle L_{A}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)}$

(voir plus bas la démonstration en dimension n de cette identité).

En particulier, le flot de ${\displaystyle A}$ conserve le volume (c’est-à-dire ${\displaystyle \mathrm {vol} (\varphi _{t}(D))=\mathrm {vol} (D)}$ pour tout domaine ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) si et seulement si la divergence est partout nulle. Le volume augmente si la divergence est positive, diminue si elle est négative.

Ce calcul montre aussi que la divergence ne dépend pas de la structure euclidienne de l'espace, mais seulement de l'élément de volume.

La divergence du champ ${\displaystyle x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}+z{\frac {\partial }{\partial z}}}$ (champ radial) est constante (égale à 3) (le flot de ce champ est formé d'homothéties, qui multiplient les volumes par une constante).

La divergence du champ ${\displaystyle y{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial y}}}$ est nulle (son flot est formé de rotations).

En mécanique des fluides, on dit qu'un fluide est en écoulement incompressible si la divergence du champ des vitesses vaut zéro.

La divergence peut être définie à partir du flux d'un champ de vecteur. Si ${\displaystyle D}$ est un domaine relativement compact de ${\displaystyle U}$, dont le bord est une surface lisse ${\displaystyle S}$, le flux de ${\displaystyle X}$ à travers ${\displaystyle S}$ est égal à l'intégrale sur ${\displaystyle D}$ de la divergence. Explicitement

${\displaystyle \int _{D}(\operatorname {div} X)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\int _{S}i(X)(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\int _{S}g(X,\nu )\Omega _{S}}$

Dans la dernière intégrale, ${\displaystyle \nu }$ est le vecteur unitaire normal sortant de ${\displaystyle S}$, et ${\displaystyle \Omega _{S}}$ est l'élément d'aire de la surface ${\displaystyle S}$. Cette égalité est valable en toute dimension, et s'étend aux domaines à bord des variétés riemanniennes orientées[2]. Elle est connue sous le nom de théorème de Green-Ostrogradski (en dimension 3) ou théorème de flux-divergence, qui est l'une des nombreuses variantes du théorème de Stokes

Démonstration

On écrit ${\displaystyle X=\langle X,\nu \rangle \nu +X^{T}}$, où le vecteur ${\displaystyle X^{T}}$ est tangent à la surface. On a alors

${\displaystyle i(X)(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\langle X,\nu \rangle (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)}$

Mais d'une part, d'après la formule de Cartan

${\displaystyle i(X)(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=L_{X}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=(\operatorname {div} X))(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)}$

D'autre part l'élément d'aire de S est donné par ${\displaystyle i(\nu )\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$. Le résultat s'en déduit par le théorème de Stokes.

Cette preuve s'étend telle que à la dimension n.

Cette définition et ses propriétés s'étendent aux champs de vecteurs sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Si ${\displaystyle A=(A_{x_{i}})_{1\leq i\leq n}}$ est un tel champ de vecteurs, on pose

${\displaystyle \mathrm {div} A=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial A_{x_{i}}}{\partial x_{i}}}}$

Pour ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \dots \mathrm {d} x_{n}}$, on a encore ${\displaystyle L_{A}\omega =(\mathrm {div} A)\omega }$, d'où son lien avec le principe de (non)conservation du volume n-dimensionnel.

Démonstration

En utilisant le fait que la dérivée de Lie est une dérivation, on voit que

${\displaystyle L_{A}\omega =L_{A}(\mathrm {d} x_{1})\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{n}+\mathrm {d} x_{1}\wedge L_{A}(\mathrm {d} x_{2})\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{n}+\ldots +\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\ldots \wedge L_{A}(\mathrm {d} x_{n})}$

Par ailleurs

${\displaystyle L_{A}(\mathrm {d} x_{i})=\mathrm {d} (L_{A}x_{i})=\mathrm {d} A_{x_{i}}}$

Ainsi, dans chacun des n termes de l'expression ci-dessus de ${\displaystyle L_{A}\omega }$, on peut remplacer ${\displaystyle \mathrm {d} A_{x_{i}}}$ par ${\displaystyle {\frac {\partial A_{x_{i}}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}}$

Exemple. Pour le champ linéaire donné par

${\displaystyle A_{x_{i}}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}x_{j}}$

la divergence est la trace de la matrice ${\displaystyle (a_{j}^{i})_{1\leq i,j\leq n}}$.

Illustration représentant un volume ${\displaystyle V}$ intérieur à la surface fermée ${\displaystyle (S)}$ dont la normale extérieure en tout point est ${\displaystyle {\vec {n}}}$.

D'une manière générale, la divergence est reliée en physique à l'expression locale de la propriété de conservation d'une grandeur. En considérant une surface fermée quelconque ${\displaystyle (S)}$, la variation d'une grandeur conservative dans le volume fermé par cette surface est, par définition d'une grandeur conservative, due aux échanges avec l'extérieur (il n'existe pas de sources de création ou d'annihilation d'une grandeur conservative). Le bilan de cette grandeur entre deux instants s'écrit donc uniquement comme la somme du flux de cette grandeur à travers la surface fermée ${\displaystyle (S)}$ et de la variation temporelle de la grandeur à l'intérieur de la surface ${\displaystyle (S)}$. Si la grandeur est conservative, ce bilan est nul.

Par exemple, en électromagnétisme, si ${\displaystyle {\vec {J}}}$ est le vecteur densité volumique courant, ${\displaystyle \rho }$ la densité volumique de charge électrique et ${\displaystyle V}$ le volume intérieur à la surface ${\displaystyle (S)}$, la conservation de la charge s'écrit de façon intégrale :

${\displaystyle \iint _{(S)}{\vec {J}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iiint _{V}\rho \,\mathrm {d} V=0}$

ou encore, pour une surface ${\displaystyle (S)}$ fixe :

${\displaystyle \iint _{(S)}{\vec {J}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S+\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} V=0}$

avec ${\displaystyle {\vec {n}}}$ est un vecteur unitaire normal en tout point à ${\displaystyle (S)}$.

La formule de Green-Ostrogradsky permet de réécrire l'équation précédente à la manière de la divergence :

${\displaystyle \iiint _{V}\operatorname {div} ({\vec {J}})\,\mathrm {d} V+\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} V=0}$

Ce qui mène immédiatement à la relation locale de conservation :

${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {J}})+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$

Il est ainsi également possible d'exprimer localement, par exemple dans le cadre de la mécanique des fluides, si ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique en un point et ${\displaystyle {\vec {V}}}$ le champ des vecteurs vitesse :

${\displaystyle \operatorname {div} (\rho \,{\vec {V}})+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$ (équation de continuité).

D'autres lois de conservation font intervenir la divergence de tenseurs d'ordre 2, comme la conservation de la quantité de mouvement en mécanique des fluides. En relativité générale, on montre aussi la nullité de la divergence du tenseur énergie-impulsion.

Lorsqu'une loi d'interaction radiale, due à des sources ponctuelles, varie comme le carré inverse de la distance il est possible d'établir que le flux du champ d'interaction à travers une surface fermée est toujours proportionnel à la quantité de sources présentes à l'intérieur de la surface fermée. Ce type de relation porte généralement en physique le nom de théorème de Gauss. Par exemple, dans le cas du champ électrostatique ${\displaystyle {\vec {E}}}$, dû aux charges électriques ${\displaystyle Q_{\text{int}}}$ présentes à l'intérieur de la surface fermée ${\displaystyle (S)}$ on a la forme intégrale du théorème de Gauss suivante :

${\displaystyle \iint _{(S)}{\vec {E}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S={\frac {Q_{\text{int}}}{\varepsilon _{0}}}}$

Grâce au théorème de flux-divergence il est possible d'exprimer une forme locale du théorème de Gauss. L'équation précédente se réécrit :

${\displaystyle \iiint _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}\,\mathrm {d} V={\frac {Q_{\text{int}}}{\varepsilon _{0}}}=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V}$

si ${\displaystyle V}$ est le volume délimité par ${\displaystyle (S)}$ et ${\displaystyle \rho }$ la densité volumique de charge. On obtient alors immédiatement :

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

qui est la forme locale du théorème de Gauss. Ce type de relation est également possible pour le champ de gravitation :

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {G}}=-4\pi \,G\,\rho }$

où ${\displaystyle G}$ est la constante fondamentale de la gravitation, ${\displaystyle {\vec {G}}}$ le champ de gravitation et ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique.

En électromagnétisme il est possible de montrer, à partir de la loi de Biot et Savart, que la divergence du champ magnétique ${\displaystyle {\vec {B}}}$ est nulle :

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}=0}$

Cette propriété intrinsèque du champ magnétique permet d'établir que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul ; on dit que le champ magnétique est à flux conservatif. En effet, si on appelle ${\displaystyle (S)}$ la surface fermée considérée et ${\displaystyle V}$ le volume intérieur à cette surface, on a :

${\displaystyle \iint _{(S)}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} ({\vec {B}})\,\mathrm {d} V=0}$

${\displaystyle (x,y,z)=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z),0\leq \theta <2\pi }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rA_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}$$

En choisissant pour convention les notations physiques (conformément au standard ISO 31-11), soit ${\displaystyle (x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta ),0\leq \theta \leq \pi ,0\leq \varphi <2\pi }$ :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}}$$

(en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail des éditions]

• Divergence d'un tenseur
• Rotationnel, gradient, nabla, laplacien
• Dérivée partielle, équation aux dérivées partielles
• Opérateur différentiel
• Théorème de Stokes
• Équations de Maxwell, équations de Navier-Stokes

• (en) Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2^e édition révisée - 1982) (ISBN 0-444-86017-7)
• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton et Matthew Sands (en), Le Cours de physique de Feynman [détail de l’édition], Électromagnétisme I, ch. 2 et 3, InterEditions (ISBN 2-72960028-0)
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
• François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation, Cassini, 1999 (ISBN 2-84225-008-7)