Tenseur énergie-impulsion

Le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique a été écrit, pour la première fois, par Joseph Larmor (1857-1942) en 1898 dans l'essai qui lui a permis de remporter le prix Adams et qu'il a publié en 1900 dans Aether and Matter§ 10.7.5_1-0">[1].

En 1853, William Thomson (1824-1907) introduit la notion de densité d'énergie électromagnétiquesec. 2_2-0">[2] - t. II,_chap. II_3-0">[3] ; en 1873, James Clerk Maxwell (1831-1879), celle de tension électromagnétiquesec. 2_2-1">[2] - t. II,_chap. II_4-0">[4] ; en 1884, John Henry Poynting (1852-1914) et Oliver Heaviside (1850-1925), celle de flux d'énergie électromagnétiquesec. 2_2-2">[2] - t. II,_chap. II_4-1">[4] ; puis, en 1893, Joseph John Thomson (1856-1940), celle de densité de moment électromagnétiquesec. 2_2-3">[2] - t. II,_chap. II_4-2">[4]. En 1908, Hermann Minkowski (1864-1909) réunit ces quatre notions dans un tenseur : le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétiquesec. 2_2-4">[2]. Ce faisant, il introduit la notion de tenseur énergie-impulsionn. historique_5-0">[5] - réf._289_6-0">[6] - [7]. Mais il ne l'applique qu'au champ électromagnétiquen. historique_5-1">[5]. C'est à Max von Laue (1879-1960) qu'est due — semble-t-il — l'usage général du tenseur pour décrire la dynamique de m'importe quel type de matière ou de champn. historique_5-2">[5] : en 1911, il en donne une décomposition généralen. historique_5-3">[5] - réf._243_8-0">[8] - [9].

En 1908, Max Planck (1858-1947) énonce la propriété d'égalité — à un facteur c² près — du flux d'énergie et de la densité d'impulsionn. historique_5-4">[5] - réf._327_10-0">[10] - [11] ; propriété qu'en 1900, Henri Poincaré (1854-1912) avait établie dans le cas particulier du champ électromagnétiquen. historique_5-5">[5] - réf._329_12-0">[12] - [13].

• Tenseur énergie-impulsion pour la matière:

On considère que la matière M qui engendre le champ gravitationnel est un système isolé et en mouvement comme un fluide de poussière avec une vitesse:

${\displaystyle u_{\mu }=c{\frac {dx_{\mu }}{ds}}}$

Dans ce cas le tenseur énergie-impulsion de la matière ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ est par définition :

${\displaystyle (a)\ T_{\mu \nu }\ =\ -{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\ \left({\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)}$

où

${\displaystyle \Lambda =g^{\mu \nu }\Lambda _{\mu \nu }}$

${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g_{\mu \nu }-\kappa _{0}u_{\mu }u_{\nu }}$

${\displaystyle g=det(g_{\mu \nu })}$

${\displaystyle \kappa _{o}}$ = une distribution propre de la matière

Voyons que vaut ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ :

comme ${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }}$ ne contient pas ${\displaystyle \partial _{m}g^{\mu \nu }}$ la relation (a) devient :

${\displaystyle -T_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}={\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

${\displaystyle =\Lambda {\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial (\Lambda )}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }+{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial (g^{sm}\Lambda _{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

comme ${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }}$ ne contient pas non plus ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ on peut sortir ${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }+{\sqrt {|g|}}\Lambda _{sm}{\frac {\partial g^{sm}}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

parmi les ${\displaystyle g^{sm}}$ il y a un seul ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ quand ${\displaystyle s=\mu \ ,m=\nu }$

${\displaystyle =-{\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }+{\sqrt {|g|}}\Lambda _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}={\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }-{\sqrt {|g|}}\Lambda _{\mu \nu }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\Lambda g^{\mu \nu }-\Lambda _{\mu \nu }}$

or

${\displaystyle \Lambda =g^{\mu \nu }\Lambda _{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }-\kappa _{0}g^{\mu \nu }u_{\mu }u_{\nu }}$

${\displaystyle \Lambda ={\frac {4}{2}}\kappa _{0}c^{2}-\kappa _{0}u_{\mu }u^{\nu }\ \$ ;(g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4)}

${\displaystyle \Lambda ={\frac {4}{2}}\kappa _{0}c^{2}-\kappa _{0}c^{2}=\kappa _{0}c^{2}}$

d'où

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g^{\mu \nu }-({\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g_{\mu \nu }-\kappa _{0}u_{\mu }u_{\nu })}$

soit

${\displaystyle T_{\mu \nu }=\kappa _{0}u_{\mu }u_{\nu }}$

La relation (a) nous permet d'injecter ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ dans l'équation tensorielle d'Einstein, il suffit de prendre l'action de la matière suivante:

${\displaystyle S_{\Lambda }=\chi \int \Lambda {\sqrt {|g|}}\ d^{4}x}$

${\displaystyle \chi ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

et la variation ${\displaystyle \delta S_{\Lambda }}$ par rapport à ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$ donne:

${\displaystyle \delta S_{\Lambda }=\chi \int \left({\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)\delta g^{\mu \nu }d^{4}x}$

c'est-à-dire

${\displaystyle \delta S_{\Lambda }=\int -\chi T_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}\ \delta g^{\mu \nu }d^{4}x}$

Pour l'action du champ gravitationnel on prend:

${\displaystyle S_{R}=\int \ R{\sqrt {|g|}}\ d{^{4}}x}$

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu };R_{\mu \nu }\ =\ tenseur\ de\ Ricci}$

et la variation ${\displaystyle \delta S_{R}}$ donne:

${\displaystyle \delta S_{R}=\int (R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }){\sqrt {|g|}}\ \delta g^{\mu \nu }d^{4}x}$

Et le principe de moindre action nous donne:

${\displaystyle \delta (S_{R}+S_{\Lambda })=0}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$

• Tenseur énergie-impulsion pour le champ électromagnétique sans charge:

En présence du champ électromagnétique ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

Dans ce cas le tenseur énergie-impulsion du champ EM sans charge ${\displaystyle U_{\mu \nu }}$ est par définition :

${\displaystyle (b)\ U_{\mu \nu }\ =\ -{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\ \left({\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)}$

où

${\displaystyle Q=g^{\mu \nu }Q_{\mu \nu }}$

${\displaystyle Q_{\mu \nu }={\frac {1}{2\mu _{0}}}g^{sm}F_{\mu s}F_{\nu m}}$

Maintenant calculons ${\displaystyle U_{\mu \nu }}$ :

comme ${\displaystyle Q_{\mu \nu }}$ ne contient pas ${\displaystyle \partial _{m}g^{\mu \nu }}$ la relation (b) devient

${\displaystyle -U_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}={\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

${\displaystyle =Q{\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial (g^{ab}Q_{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

comme

${\displaystyle {\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {|g|}}g_{\mu \nu }}$

et

${\displaystyle Q=g^{ab}Q_{ab}={\frac {1}{2\mu _{0}}}g^{ab}g^{sm}F_{as}F_{bm}={\frac {1}{2\mu _{0}}}F_{as}F^{as}}$

d'où

${\displaystyle Q{\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{as}F^{as}{\sqrt {|g|}}g_{\mu \nu }}$

d'autre part

${\displaystyle {\frac {\partial (g^{ab}Q_{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}}={\frac {1}{2\mu _{0}}}F_{as}F_{bm}{\frac {\partial (g^{ab}g^{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{as}F_{bm}g^{sm}{\frac {\partial (g^{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}}+F_{as}F_{bm}g^{ab}{\frac {\partial (g^{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}})}$

parmi les ${\displaystyle g^{ab}}$ il y a un seul ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ quand ${\displaystyle a=\mu \ ,b=\nu }$

et parmi les ${\displaystyle g^{sm}}$ il y a un seul ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ quand ${\displaystyle s=\mu \ ,m=\nu }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm}{\frac {\partial (g^{\mu \nu })}{\partial g^{\mu \nu }}}+F_{a\mu }F_{b\nu }g^{ab}{\frac {\partial (g^{\mu \nu })}{\partial g^{\mu \nu }}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm}+F_{a\mu }F_{b\nu }g^{ab})}$

changeons les indices a=s, b=m, et comme ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ antisymétrique ça donne

${\displaystyle ={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm}+F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm})}$

d'où

${\displaystyle U_{\mu \nu }={\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{as}F^{as}g_{\mu \nu }-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu }^{\ \ s})}$

${\displaystyle U_{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}({\frac {1}{4}}F_{as}F^{as}g_{\mu \nu }+F_{\mu s}F_{\ \ \nu }^{s})}$

La relation (b) nous permet d'injecter ${\displaystyle U_{\mu \nu }}$ dans l'équation tensorielle d'Einstein, il suffit de prendre l'action suivante:

${\displaystyle S_{Q}=\chi \int Q{\sqrt {|g|}}\ d^{4}x}$

et la variation ${\displaystyle \delta S_{Q}}$ par rapport à ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$ donne:

${\displaystyle \delta S_{Q}=\chi \int \left({\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)\delta g^{\mu \nu }d^{4}x}$

c'est-à-dire

${\displaystyle \delta S_{Q}=\int -\chi U_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}\ \delta g^{\mu \nu }d^{4}x}$

Et le principe de moindre action nous donne:

${\displaystyle \delta (S_{R}+S_{\Lambda }+S_{Q})=0}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}(T_{\mu \nu }+U_{\mu \nu })}$

Remarque les tenseurs d'énergie-impulsion possèdent deux propriétés essentielles:

- Symétrique ${\displaystyle T_{\mu \nu }=T_{\nu \mu }}$

- Conservatif ${\displaystyle (\nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0)}$

On peut vérifier que T_μν est conservatif c'est-à-dire :

${\displaystyle \nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0}$

Comme ${\displaystyle T_{\nu }^{\mu }=\kappa _{0}u_{\nu }u^{\mu }}$ ça donne

${\displaystyle \nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=\nabla _{\mu }(\kappa _{0}u_{\nu }u^{\mu })=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }(u_{\nu })+u_{\nu }\nabla _{\mu }(\kappa _{0}u^{\mu })}$

Or on est dans un système isolé, on a ${\displaystyle \nabla _{\mu }(\kappa u^{\mu })=0}$ car il y a la conservation de masse (comme dans le cas de conservation de charge ${\displaystyle \nabla _{\mu }(\rho u^{\mu })=0}$)

${\displaystyle \nabla _{\mu }(\kappa u^{\mu })=0}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }(\kappa u^{\mu })=\nabla _{\mu }(\kappa _{0}\gamma ^{2}u^{\mu })=\gamma ^{2}\nabla _{\mu }(\kappa _{0}u^{\mu })=0}$

il nous reste donc

${\displaystyle \nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }}$

or

${\displaystyle \nabla u_{\nu }=\nabla _{\mu }u_{\nu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle c{\frac {\nabla u_{\nu }}{ds}}=\nabla _{\mu }u_{\nu }c{\frac {dx^{\mu }}{ds}}}$

${\displaystyle \kappa _{0}c{\frac {\nabla u_{\nu }}{ds}}=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }}$

mais on a

${\displaystyle \kappa _{0}c{\frac {\nabla g_{\mu \nu }u^{\mu }}{ds}}=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }}$

comme ${\displaystyle \nabla g_{\mu \nu }=0\ (theoreme\ de\ Ricci)}$

on peut sortir ${\displaystyle g_{\mu \nu }\ de\ \nabla d'ou}$

${\displaystyle \kappa _{0}cg_{\mu \nu }{\frac {\nabla u^{\mu }}{ds}}=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }}$

or

${\displaystyle {\frac {\nabla u^{\mu }}{ds}}=c({\frac {d^{2}x^{\mu }}{d^{2}s}}+\Gamma _{hk}^{j}{\frac {dx^{h}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}})}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=\kappa _{0}c^{2}g_{\mu \nu }({\frac {d^{2}x^{\mu }}{d^{2}s}}+\Gamma _{hk}^{j}{\frac {dx^{h}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}})}$

Plaçons nous dans un repère normal, les gamma ${\displaystyle \Gamma _{hk}^{\mu }}$ sont nuls. Et la matière n'a pas d'interaction avec l'extérieur (système isolé) la vitesse des particules est constante donc il n'y a pas d'accélération .

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d^{2}s}}=0}$

finalement on a bien : ${\displaystyle \nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0}$

En présence du champ EM (sans charge) le tenseur énergie-impulsion ${\displaystyle U_{\mu \nu }}$ du champ EM est aussi conservatif.

Les composants du tenseur énergie-impulsion.

La composante ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ du tenseur énergie-impulsion est le flux de la ${\displaystyle \mu ^{e}}$ composante de la quadri-impulsionchap. 5,_sec. 5.2,_§ 5.2.1_14-0">[14] - chap. 4,_sec. 4.4_15-0">[15].

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4 × 4 réelle symétrique :

${\displaystyle T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

Ce tenseur dérive des flux du quadri-moment (quadrivecteur impulsion-énergie) à travers des surfaces de coordonnée ${\displaystyle x^{\nu }}$ constante.

Les composantes du tenseur énergie-impulsion sont les suivantes :

• T⁰⁰ est la densité d'énergie[16] - chap. 2,_§ 12.2_17-0">[17] - chap. 2,_§ 12.4_18-0">[18]. Elle est positive ;
• cT⁰ⁱ est la composante i du flux d'énergiechap. 2,_§ 12.4_18-1">[18] à travers la surface unité suivant i[16] ;
• Tⁱ⁰/c est la densité de la composante i de l'impulsion relativiste[16] - chap. 2,_§ 12.4_18-2">[18] ;
• T^ij est la composante j du flux de la composante i de l'impulsion relativistechap. 2,_§ 12.4_18-3">[18]. Les composantes T^ij sont celles du tenseur des contraintes dans l'espacechap. 2,_§ 12.2_17-1">[17].
• Par symétrie, {T₀₁, T₀₂, T₀₃ }={T₁₀, T₂₀, T₃₀} et sont donc aussi des densités de moments.

La sous-matrice 3 × 3 des composantes spatiale :

${\displaystyle T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Le tenseur énergie-impulsion est un quadritenseurchap. 7,_sec. 7.6,_§ 7.6.6_19-0">[19] d'ordre 2[20] - chap. 2,_§ 12.2_21-0">[21] - [22].

Il est symétrique[20] - [23] - chap. 2,_§ 12.2_17-2">[17] :

${\displaystyle T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }}$.

Étant symétrique, il ne possède que dix composantes indépendanteschap. 2,_§ 12.2_17-3">[17].

Le tenseur énergie-impulsion est de divergence nulle[20] :

${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{;\alpha }=0}$.

Dans le cas d'un fluide parfait, où ${\displaystyle T^{\alpha \beta }=Pg^{\alpha \beta }-(\rho +P)u^{\alpha }u^{\beta }}$, en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne l'équation de conservation de la masse en régime permanent : div (ρv) = 0

Le vide est, en relativité générale, une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annulechap. 8,_§ 8.6_28-0">[28] - chap. 19,_§ 19.6_29-0">[29].