Viscosité

Force de viscosité agissant dans un fluide.

Dans le cas unidimensionnel, par exemple un écoulement de Couette de fluide incompressible, la viscosité dynamique peut être définie en considérant deux couches d'un fluide notées abcd et a’b’c’d’, la couche abcd étant animée d'une vitesse relative à a’b’c’d’ notée ${\displaystyle \mathrm {d} v}$ et dirigée suivant ${\displaystyle x}$. Une force de frottement ${\displaystyle F}$ s'exerce sur la couche a’b’c’d’ séparée de dz. La viscosité dynamique ${\displaystyle \eta }$ (le symbole ${\displaystyle \mu }$ est également utilisé) intervient dans la relation entre la norme de cette force ${\displaystyle F}$ et le taux de cisaillement ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} z}}}$, ${\displaystyle S}$ étant la surface de chaque couche

${\displaystyle F=\eta \,S\,{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} z}}}$

La dimension physique de la viscosité dynamique est :

${\displaystyle [\eta ]=M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}}$

Dans le Système international d'unités (SI), la viscosité dynamique ${\displaystyle \eta }$[1] se mesure donc en pascals secondes[2] (Pa s), cette dénomination ayant remplacé le poiseuille (Pl), de même valeur (1 Pa s = 1 Pl).

On trouve encore parfois l'ancienne unité[3] du système CGS, la poise (Po) : 1 Pa s = 10 Po.

De cette grandeur dérivent deux autres, équivalentes :

• la fluidité qui est l'inverse de la viscosité dynamique ;
• la viscosité cinématique ${\displaystyle \nu }$ qui s'obtient en divisant la viscosité dynamique par la masse volumique ${\displaystyle \rho }$ soit :

${\displaystyle {\nu }={\frac {\eta }{\rho }}}$

Elle s'exprime en mètre carré par seconde (m²/s)[2]. Dans le système CGS, la viscosité cinématique est exprimée en stokes (St) ou en centistokes (cSt).

La conversion est immédiate, puisque 1 St = 1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s et 1 cSt = 1 mm²/s = 10^–6 m²/s.

Dans le cas général le tenseur des contraintes visqueuses est donné par :

${\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}=\eta \underbrace {\left[\mathbf {\nabla } \mathbf {V} +(\mathbf {\nabla } \mathbf {V} \,)^{T}-{\frac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right){\mathsf {I}}\right]} _{cisaillement}+\chi \underbrace {(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \,)\;{\mathsf {I}}} _{dilatation}}$

• ${\displaystyle \mathbf {V} }$ est la vitesse de l'écoulement ;
• ${\displaystyle {\mathsf {I}}}$ est le tenseur unité ;
• η désigne la viscosité dynamique du fluide (unité SI : Pa s) ;
• χ désigne la viscosité de volume (unité SI : Pa s).

On peut écrire cette équation sous la forme :

${\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}=\eta \left[\,\mathbf {\nabla } \mathbf {V} +(\mathbf {\nabla } \mathbf {V} \,)^{T}\right]+\beta (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \,)\;{\mathsf {I}}\,,\quad \beta =\chi -{\frac {2}{3}}\eta }$

${\displaystyle \beta }$ est la seconde viscosité.

On notera que certains ouvrages inversent les définitions de viscosité volumique (en anglais bulk viscosity) et seconde viscosité.

L'hypothèse de Stokes présume que la viscosité de volume est nulle :

${\displaystyle \chi =0}$   ou   ${\displaystyle \beta +{\frac {2}{3}}\eta =0}$

Le terme de viscosité élongationnelle est utilisé en rhéologie pour caractériser l'écoulement d'un corps incompressible soumis à une contrainte uniaxiale. La viscosité élongationnelle vaut ${\displaystyle \eta _{e}=3\eta }$ (loi de Trouton).

La viscosité turbulente désigne une quantité utilisée pour décrire la dissipation turbulente. Elle est l'analogue de la viscosité dynamique pour la relation contraintes-déformations dans le milieu mais n'est pas une caractéristique de ce milieu et son expression doit être adaptée à chaque situation physique.

La viscosité dynamique d'un corps pur est donnée par l'expression suivante (les indices sont pour la collision de l'espèce i avec elle-même)

${\displaystyle \eta _{i}=\alpha {\frac {(M_{i}T)^{\frac {1}{2}}}{\sigma _{ii}\Omega _{ii}^{*}}}\,,\quad \alpha ={\frac {5}{16}}\left({\frac {k_{B}}{\pi N_{A}}}\right)^{\frac {1}{2}}=8.4419...\times 10^{-25}\,J^{\frac {1}{2}}\cdot K^{-{\frac {1}{2}}}\cdot mol^{\frac {1}{2}}}$

où ${\displaystyle T}$ est la température, ${\displaystyle M_{i}}$ la masse molaire, ${\displaystyle N_{A}}$ le nombre d'Avogadro, ${\displaystyle k_{B}}$ la constante de Boltzmann, ${\displaystyle \sigma _{ii}}$ la section efficace et ${\displaystyle \Omega _{ii}^{*}}$ l'intégrale de collision réduite par sa valeur utilisant un potentiel sphères dures. Ce terme dépend faiblement de la température, il est donc voisin de l'unité. Si on prend ${\displaystyle \Omega _{ii}^{*}=1}$ on retrouve l'approximation d'un milieu composé de sphères dures parfaitement élastiques. Le terme ${\displaystyle T^{\frac {1}{2}}}$ représente le nombre de collisions par unité de temps.

La quantité ${\displaystyle \sigma \Omega ^{*}}$ est souvent disponible dans les bases de données sous forme tabulée[4] ou sous forme polynomiale

${\displaystyle y=\sum _{i=i_{1}}^{i_{2}}a_{i}T^{i}}$

où ${\displaystyle i_{1}}$ peut être négatif[alpha 1].

Ce type d'approximation est également utilisé pour donner une expression numérique ${\displaystyle \eta =f(T)}$[5].

Diverses approximation de la viscosité de l'air jusqu'à 10000K.

La viscosité dynamique d'un mélange gazeux de ${\displaystyle N}$ corps est solution d'un système algébrique linéaire d'ordre ${\displaystyle N}$ et de rang ${\displaystyle N-1}$[4] - [6]. Elle s'exprime donc sous la forme ${\displaystyle \eta =f\left(T,c_{i}(T)\right)}$ où ${\displaystyle c_{i}}$ est la fraction massique de l'espèce ${\displaystyle i}$ dans le mélange. Il existe nombre d'approximations précises dans un domaine plus ou moins large (voir figure ci-contre) :

• certaines, un peu complexes mais justifiées théoriquement, comme celle comme celle de Buddenberg et Wilke[7] - [8] donnent d'excellents résultats ;
• une simple loi de mélange donne des résultats acceptables dans un domaine de température réduit. Une telle loi empirique s'écrit :

${\displaystyle \eta ^{-1}=\sum c_{i}\eta _{i}^{-1}}$

• on utilise couramment la loi de Sutherland qui est une adaptation numérique d'un modèle théorique utilisant un potentiel d'interaction particulier[4].

Des données nombreuses et fiables sont contenues dans la compilation faite par Yeram Sarkis Touloukian[7]. On donne dans le tableau ci-dessous quelques valeurs à température normale de cette base de données.

Viscosité de l'eau (liquide et vapeur) à l'équilibre thermodynamique. ${\displaystyle T_{C}=647K}$, ${\displaystyle \eta _{C}=4,16\times 10^{-5}Pa\cdot s}$

En pratique on utilise diverses méthodes physiques approchées (liste non exhaustive)[7] - [9] :

• l'approximation de la « viscosité résiduelle » ${\displaystyle \eta _{R}=\eta _{l}-\eta _{g}}$, différence entre la valeur pour le liquide et celle calculée pour un hypothétique gaz à la même température, sous la forme ${\displaystyle {\frac {\eta _{R}}{\eta _{C}}}=f\left({\frac {\rho }{\rho _{C}}}\right)}$ ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique et ${\displaystyle \rho _{C}}$ sa valeur au point critique ${\displaystyle T=T_{C}}$ où la viscosité est ${\displaystyle \eta _{C}}$ (voir figure ci-contre)[10].
• la méthode des états correspondants où l'on montre par l'analyse dimensionnelle que les viscosités des corps ne dépendent que d'un nombre limité de paramètres[4]. On se contente en général de deux pour écrire la loi sous la forme « universelle » suivante :

${\displaystyle \eta _{l}=f\left(T^{*},\rho ^{*}\right)}$

où ${\displaystyle T^{*}}$ et ${\displaystyle \rho ^{*}}$ sont des valeurs normalisés par une quantité supposée pertinente, variable d'un auteur à un autre. On utilise cette méthode pour obtenir la viscosité d'un corps à partir de celle d'un corps réputé voisin.

On utilise fréquemment des approximations numériques ${\displaystyle \eta _{l}=f(T)}$ telles que la suivante pour l'eau à pression de vapeur saturante[11] :

${\displaystyle \mu _{l}=2.414\times 10^{-5}10^{\frac {247.8}{T-140}}}$

La comparaison avec la courbe ci-contre montre qu'elle est valide jusqu'à 600 K environ.

On utilise couramment la loi de mélange empirique (ou des variantes de celle-ci[7])

${\displaystyle \log {\eta }=\sum x_{i}\log {\eta _{i}}}$

${\displaystyle x_{i}}$ est la fraction volumique (molaire).

Des données sont contenues dans diverses compilations[7] - [12] dont on donne ci-dessous deux exemples.

Par ailleurs on peut trouver de nombreuses valeurs typiques pour des fluides newtoniens qui ne sont pas nécessairement parfaitement définis[12] - [13] - [14].

Certains corps comme les verres passent continument de l'état solide à l'état liquide. La viscosité du dioxyde de silicium a été mesurée à 1 × 10⁶ Pa s à 1 200 K et à 80 Pa s à 2 600 K[8].

On trouve parfois des valeurs de viscosités pour des corps rhéofluidifiants et thixotropes comme le sang ou fortement non-newtoniens comme la glace polycristalline[15]. Il convient de considérer ces valeurs avec circonspection.

La « viscosité sanguine » est un paramètre qui peut varier selon l'âge et les espèces animales (et donc aussi intéresser les vétérinaires[16] - [17] - [18]). Chez l'être humain, parce qu'elle influe sur la pression artérielle[19], elle est un indicateur important de la santé cardiovasculaire qui a aussi été corrélée à l'insulino-résistance[20] et au phénomène de Raynaud[21].

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