Sphères élastiques infiniment dures

Ce potentiel s'écrit :

${\displaystyle E(r)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{si}}\quad r\geq \sigma \\\infty &{\mbox{si}}\quad r<\sigma \end{matrix}}\right.}$

où r est la demi-distance entre les centres des atomes ou molécules (des sphères de rayon σ).

La première utilisation historiquement importante est la loi de distribution des vitesses de Maxwell[1].

Par ailleurs ce potentiel permet[2] :

• de calculer analytiquement les coefficients de transport : coefficient de diffusion, viscosité et conductivité par l'intermédiaire des intégrales de collision.
• de calculer les termes successifs du viriel d'un fluide (analytiquement jusqu'au terme B₄, par intégration numérique pour les termes suivants).

Il n'existe pas de théorie aussi complète pour les milieux denses que pour les gaz. Toutefois le modèle de sphères dures permet d'aboutir à un certain nombre de résultats intéressants dont on peut citer quelques exemples.

• L'utilisation de ce potentiel dans la méthode de Percus-Yevick pour la résolution de l'équation d'Ornstein-Zernike permet d'obtenir analytiquement la fonction de distribution radiale dans un milieu dense[3] - [4].
• David Enskog a montré qu'il est possible de généraliser la méthode de Chapman-Enskog à un milieu dense constitué de sphères dures[2].

• Le potentiel sphères dures ne donne qu'une approximation médiocre de la viscosité. G. A. Bird a proposé une modification simplement utilisable pour une simulation directe Monte-Carlo[5] en conservant la forme du potentiel mais en faisant de ${\displaystyle \sigma }$ une fonction de la vitesse de collision relative ${\displaystyle g}$. C'est le potentiel sphères dures à rayon variable (en anglais variable hard sphere ou VHS). La relation ${\displaystyle \sigma =f(g)}$ est construite à partir la viscosité par l'intermédiaire de l'angle de déviation ${\displaystyle \chi =2\arccos {\left({\frac {b}{\sigma }}\right)}}$ où ${\displaystyle b}$ est le paramètre d'impact de la collision[6].
• Plus tard K. Koura et H. Matsumoto ont introduit une variante permettant de respecter simultanément viscosité et diffusion en introduisant un paramètre réglable ${\displaystyle \alpha }$ dans l'angle de déviation, écrit ${\displaystyle \chi =2\arccos {\left({\frac {b}{\sigma }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}}$[7] - [6]. C'est le potentiel sphères douces à rayon variable (en anglais Variable Soft Sphere ou VSS).
• Le modèle d'interaction sphères dures a été étendu par G. H. Bryan (1894) à des échanges rotation-translation en introduisant un échange impulsionnel au point de contact, parallèle à la surface[2]. Ce modèle est connu sous le nom de sphères élastiques infiniment dures parfaitement rugueuses.
• Dans le même but James Jeans a introduit des sphères dures balourdées en 1904[2].