Choc élastique

Si on considère le choc de deux corps ponctuels 1 et 2, et :

• ${\displaystyle {\vec {p_{i}}}\,}$ la quantité de mouvement avant choc et ${\displaystyle {\vec {p_{i}}}'\,}$ celle après choc du corps n^o i avec ${\displaystyle i\in \{1;2\}}$ ;
• ${\displaystyle m_{i}\,}$ la masse du corps n^o i (supposée constante dans un choc élastique) ;
• ${\displaystyle {\vec {v_{i}}}\,}$ la vitesse avant choc et ${\displaystyle {\vec {v_{i}}}'\,}$ celle après choc du corps n^o i,

le théorème de conservation de la quantité de mouvement donne :

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}+{\vec {p_{2}}}={\vec {p_{1}}}'+{\vec {p_{2}}}'\,}$ ;

la conservation de l’énergie cinétique totale donne :

${\displaystyle m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}{v'}_{1}^{2}+m_{2}{v'}_{2}^{2}}$.

Étant donné que ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$, les conditions sont représentées par chacun des deux systèmes équivalents suivants pour un choc parfaitement élastique :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\vec {p_{1}}}+{\vec {p_{2}}}={\vec {p_{1}}}'+{\vec {p_{2}}}'\\\\{{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}}}+{\frac {p_{2}^{2}}{m_{2}}}={\frac {{p'}_{1}^{2}}{m_{1}}}+{\frac {{p'}_{2}^{2}}{m_{2}}}}\,\end{matrix}}\right.\,}$ ou ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}m_{1}.{\vec {v_{1}}}+m_{2}.{\vec {v_{2}}}=m_{1}.{\vec {v_{1}}}'+m_{2}.{\vec {v_{2}}}'\\\\{m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}{v'}_{1}^{2}+m_{2}{v'}_{2}^{2}}\,\end{matrix}}\right.\,}$

Ces égalités donnent quatre équations numériques à six inconnues (les six coordonnées des vitesses, ou des quantités de mouvement, après le choc) : la résolution complète n'est pas possible avec ces seules conditions. Seul le cas à une dimension spatiale (deux équations à deux inconnues) est totalement soluble.

Collision élastique de masses égales dont une au repos.

L'hypothèse que les deux particules se meuvent sur une droite avant et après le choc simplifie le problème et en rend la solution indépendante de l'interaction des particules :

Système en une dimension : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}{v'}_{1}+m_{2}{v'}_{2}\\m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}{v'}_{1}^{2}+m_{2}{v'}_{2}^{2}\end{matrix}}\right.\,}$

Sa résolution : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{v'}_{1}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1}+{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2}\\\\{v'}_{2}={\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1}+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2}\end{matrix}}\right.\,}$

En deux ou trois dimensions, il y a plus d'inconnues que d'équations : les données fournies sont insuffisantes pour déterminer totalement la situation finale. La nature du choc, c'est-à-dire le champ de force entre les particules, détermine les inconnues supplémentaires. Ce champ de force peut être étudié à travers l'état final du système.

Certaines informations sont accessibles sans rien savoir sur le champ de force :

• d'un référentiel galiléen à l'autre, l'angle que font deux vitesses varie, ainsi que leurs normes : un changement de référentiel impliquant l'addition d'un vecteur vitesse à ces vitesses, l'angle entre celles-ci est modifié, et de même pour les normes ;

• l'angle entre les directions des deux particules après le choc dépend de leurs masses et du choix du référentiel. Dans le référentiel où une des deux particules est initialement au repos, si les masses sont égales, les deux vitesses résultantes sont à angle droit l'une de l'autre, dans le cas où la particule incidente a une masse plus faible, cet angle est supérieur à l'angle droit, et dans le cas où la particule incidente est de masse plus grande, l'angle est inférieur à l'angle droit[1] ;

• dans le référentiel du centre d'inertie, les vitesses avant le choc sont ${\displaystyle {\vec {u}}_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.{\vec {v}}}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}_{2}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}.{\vec {v}}}$, où ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}}$, avec ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ la vitesse du corps n^o i dans le référentiel initial. Après le choc, les vitesses sont ${\displaystyle {\vec {w}}_{1}=u_{1}.{\vec {n}}}$ et ${\displaystyle {\vec {w}}_{2}=-u_{2}.{\vec {n}}}$ où ${\displaystyle \|{\vec {u}}_{i}\|=u_{i}}$, et ${\displaystyle {\vec {n}}}$ un vecteur unitaire (de norme 1) dont la direction dépend de la loi d'interaction entre les particules et de leur position relative pendant le choc[1].

L'hypothèse, courante, que l'interaction entre les particules est à symétrie sphérique, implique que les quatre vitesses (deux avant et deux après le choc) sont coplanaires. Le cas à deux dimensions est alors suffisant pour étudier la situation ; il y a alors trois équations et quatre inconnues. L'angle de diffusion d'une particule (angle entre les directions avant et après le choc) peut être choisi comme étant l'inconnue restante[1].

Dans le cas d'un champ de force centrale immobile, l'angle de la diffusion d'une particule incidente est exprimable en fonction du champ de force ${\displaystyle U(r)}$. Un cas très proche se retrouve dans les applications physiques courantes : on a souvent affaire à une diffraction d'un faisceau de particules identiques incidentes sur une fine épaisseur d'un matériau. La notion de section efficace apparait alors dans l'étude de la dispersion des particules[1].

• Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 1 : Mécanique [détail des éditions]. § 17.
• José-Philippe Pérez, Mécanique, 7^e éd., Dunod, Paris, 2014, chapitre 14 et 21.