Coefficient de restitution

Le coefficient peut prendre des valeurs entre 0 et 1. Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible : les deux particules en interaction se « traverseraient » lors du choc.

La valeur du coefficient de restitution ${\displaystyle e}$ s'obtient par le rapport entre la vitesse relative finale ${\displaystyle v_{f}}$ et initiale ${\displaystyle v_{i}}$ des deux corps considérés:

${\displaystyle e={\frac {v_{f}}{v_{i}}}={\sqrt {\frac {K_{f}}{K_{i}}}}}$

On montre aisément que la racine du rapport entre la hauteur d'un rebond ${\displaystyle h_{n}}$ et la hauteur du rebond précédent ${\displaystyle h_{n-1}}$ donne le même résultat.

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {h_{n}}{h_{n-1}}}}}$

Démonstration

En effet on peut considérer deux phases, la phase avant le rebond et celle qui le suit. Lors de ces deux phases on néglige toute force de frottement. Ainsi lors de chacune des phases l'énergie mécanique se conserve. D’où :

${\displaystyle E_{\text{m1}}=mgH_{i}={\tfrac {1}{2}}mV_{i}^{2}}$ ${\displaystyle E_{\text{m2}}=mgH_{p}={\tfrac {1}{2}}mV_{p}^{2}}$

On en tire donc :

${\displaystyle V_{i}^{2}=2gH_{i}}$ ${\displaystyle V_{p}^{2}=2gH_{p}}$ ${\displaystyle \left({\frac {V_{p}}{V_{i}}}\right)^{2}=e^{2}={\frac {H_{p}}{H_{i}}}}$

D’où

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {H_{p}}{H_{i}}}}}$

Où ${\displaystyle H_{p}}$ représente la hauteur de rebond et ${\displaystyle H_{i}}$ la hauteur de lâché. De même ${\displaystyle V_{i}}$ est la vitesse avant rebond et ${\displaystyle V_{p}}$ après rebond.

Si ${\displaystyle v}$ est la vitesse finale du système, ${\displaystyle u}$ la vitesse initiale du système et ${\displaystyle e}$ le coefficient de restitution, on a simplement ${\displaystyle v=-eu}$ .

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos[3], mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia[4]. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de Léon Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussion de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous[5].

Si la collision est élastique, ${\displaystyle {e=1}}$, et donc ${\displaystyle {v=-u}}$. L'énergie cinétique est conservée.

Exemple :

Un corps A de masse ${\displaystyle M_{\text{A}}}$ avançant rectilignement à une vitesse ${\displaystyle u}$, percute un corps B de masse ${\displaystyle M_{\text{B}}}$ au repos. La collision est élastique, donc ${\displaystyle e=1}$. Soit ${\displaystyle v_{\text{A}}}$, et ${\displaystyle v_{\text{B}}}$ les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement :

${\displaystyle {uM_{\text{A}}=M_{\text{A}}v_{\text{A}}+M_{\text{B}}v_{\text{B}}}}$

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives) :

${\displaystyle v_{\text{A}}-v_{\text{B}}=-1\times u}$

On obtient alors les relations :

${\displaystyle {v_{\text{A}}=u{\frac {M_{\text{A}}-M_{\text{B}}}{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}}}}}$ ${\displaystyle {v_{\text{B}}=2u{\frac {M_{\text{A}}}{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}}}}}$

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'intégralité de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si ${\displaystyle M_{\text{A}}=M_{\text{B}}}$.

Une collision parfaitement élastique ne s'observe jamais au niveau macroscopique. On considère cependant parfois que la collision est élastique quand son coefficient de restitution est très proche de 1. Plus particulièrement, ce sont des matériaux durs qui ne perdent pas d'énergie sous forme de déformation, l'exemple typique étant une collision entre deux billes de billard.

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum ${\displaystyle {h_{n}}}$ après ${\displaystyle n}$ rebonds : ${\displaystyle {h_{n}=e^{2n}h_{0}}}$ où ${\displaystyle h_{0}}$ est la hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

Démonstration

La vitesse atteinte par un corps après une chute d'une hauteur ${\displaystyle h_{n}}$ dans un champ de pesanteur ${\displaystyle g}$ est (pour plus d'informations voir Chute libre) :

${\displaystyle V_{n}={\sqrt {2gh_{n}}}}$

En considérant que le mouvement est conservé, la vitesse restituée du rebond ${\displaystyle n}$ sera égale à la vitesse de la fin de la chute du rebond ${\displaystyle (n+1)}$, donc :

${\displaystyle V_{n+1}=eV_{n}=e{\sqrt {2gh_{n}}}}$

Et (toujours d'après la formule de la chute libre) :

${\displaystyle V_{n+1}={\sqrt {2gh_{n+1}}}}$

D’où:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2gh_{n+1}}}&=e{\sqrt {2gh_{n}}}\\2gh_{n+1}&=e^{2}2gh_{n}\\h_{n+1}&=e^{2}h_{n}\end{aligned}}}$

${\displaystyle h_{n}}$ est donc une suite géométrique de premier terme ${\displaystyle h_{0}}$ et de raison ${\displaystyle e^{2}}$, ayant par conséquent pour terme général :

${\displaystyle h_{n}=e^{2n}h_{0}~}$

Temps ${\displaystyle {t_{n}}}$ après le ${\displaystyle n}$ rebond et avant le rebond ${\displaystyle n+1}$ : ${\displaystyle {t_{n}=e^{n}{\sqrt {\frac {8h_{0}}{g}}}}}$

Démonstration

Pour démontrer cela il suffit de s'intéresser au mouvement plan d'un corps projeté verticalement avec une vitesse initiale ${\displaystyle V_{0}=V_{n}}$ (ici, voir Chute libre (physique)). L'accélération est égale à ${\displaystyle g}$ (accélération de la pesanteur).

${\displaystyle a=g~}$

Donc :

${\displaystyle v_{z}=-gt+v_{0}~}$

Et l'altitude ${\displaystyle z}$ est finalement égale à :

${\displaystyle z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+z_{0}}$

Au début d'un rebond l'altitude est nulle, donc ${\displaystyle z_{0}=0}$. Nous cherchons ${\displaystyle t}$ tel que ${\displaystyle z=0}$, ce qui revient alors à résoudre :

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t=0\quad \Leftrightarrow \quad t\left(-{\frac {1}{2}}gt+v_{0}\right)=0}$

Ce qui présente deux solutions, ${\displaystyle t=0}$, car le corps a une altitude nulle au début du rebond, et :

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}}{g}}}$

Pour le ${\displaystyle n}$^e rebond, la vitesse initiale est égale à la vitesse en fin de chute et peut donc s'écrire :

${\displaystyle V_{n}={\sqrt {2gh_{n}}}}$

D’où:

${\displaystyle t_{n}={\frac {2{\sqrt {2gh_{n}}}}{g}}={\frac {\sqrt {8gh_{n}}}{g}}={\sqrt {\frac {8h_{n}}{g}}}}$

Et finalement, grâce à la formule générale de ${\displaystyle h_{n}}$ trouvée lors de la dernière démonstration :

${\displaystyle t_{n}={\sqrt {\frac {8e^{2n}h_{0}}{g}}}}$

Nous retrouvons alors bien :

${\displaystyle t_{n}=e^{n}{\sqrt {\frac {8h_{0}}{g}}}}$

À l'aide de la dernière relation, le temps total de rebondissement est :

${\displaystyle {T=t_{0}+{\sqrt {\dfrac {8h_{0}}{g}}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{i}}}$

Par une suite géométrique, on trouve finalement :

${\displaystyle {T=t_{0}+\left({\dfrac {e}{1-e}}\right)\times {\sqrt {\dfrac {8h_{0}}{g}}}}}$

avec ${\displaystyle t_{0}}$ temps avant le premier rebond.

Démonstration

Le temps total de rebondissement est ${\displaystyle T=t_{0}+t_{1}+\ldots +t_{n}+\ldots +t_{\infty }=t_{0}+{\sqrt {\frac {8h_{0}}{g}}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{i}}$

et

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{i}=S_{n}={\dfrac {e(1-r^{n})}{1-r}}}$ comme la raison ${\displaystyle r}$ de cette suite géométrique vaut ${\displaystyle e}$, le coefficient de restitution : ${\displaystyle r^{n}=e^{n}\rightarrow 0}$

Donc

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{i}={\dfrac {e}{1-e}}}$ et ${\displaystyle T=t_{0}+\left({\dfrac {e}{1-e}}\right)\times {\sqrt {\dfrac {8h_{0}}{g}}}}$

Remarque : Le nombre de rebonds est infini mais ${\displaystyle T}$ est fini.

• Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
• Léon Lecornu, Dynamique Appliquée, Paris, éd. Octave Doin, 1908
• De Laharpe, Notes et formules de l'ingénieur (20^e édition, 1920), éd. Albin Michel, Paris
• Horst Küchling, Taschenbuch der Physik (7^e éd. 1985), éd. Harri Deutsch Verlag, Francfort