Coefficient

Une égalité telle que ${\displaystyle \,{\frac {3}{15}}\,=\,{\frac {4}{20}}\,}$ s’appelle une proportion. Elle peut se traduire par les phrases suivantes :

${\displaystyle \mathbb {3\,\ et\ 4} \,}$ sont proportionnels à ${\displaystyle \,\mathbb {15\,\ et\ 20\$ ;} }

${\displaystyle \mathbb {4\,\ et\ 20} \,}$ sont proportionnels à ${\displaystyle \,\mathbb {3\,\ et\ 15} .}$

On obtient le couple (15, 20) en multipliant les termes du couple (3, 4) par le coefficient 5 : ${\displaystyle \,{\frac {15}{3}}\,=\,{\frac {20}{4}}\,=\,5.}$

On obtient le couple (3, 15) en multipliant les termes du couple (4, 20) par le coefficient 0,75 ${\displaystyle \,{\frac {3}{4}}\,=\,{\frac {15}{20}}\,=\,0{,}75.\,}$ Coefficient qui peut s’exprimer sans approximation par un pourcentage : 3 vaut 75 % de 4 et 15 vaut 75 % de 20.

Dans le polynôme ${\displaystyle a\,x^{2}+b\,x+c}$ où la variable est x, les coefficients sont a, b et c. Plus précisément, a est le coefficient de x², b celui de x¹ (= x) et c celui de x⁰ (= 1)[alpha 1].

Dans le développement de ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ par la formule de Newton, ${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}\,a^{k}b^{n-k}}$, les coefficients sont les facteurs ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ placés devant chaque terme ${\displaystyle a^{k}b^{n-k}}$.

Les coefficients sont (ou représentent) le plus souvent des nombres réels, mais ces nombres peuvent être complexes, rationnels, etc. Si ce n'est pas clair d'après le contexte on le précise : coefficients réels, coefficients complexes, coefficients rationnels, etc.

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