Couple (mathématiques)

D'abord introduite comme une notion primitive, l'essence de la notion de couple réside dans la propriété caractéristique suivante :

Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles.

En d'autres termes, quels que soient a₁, a₂, b₁, b₂, on a :

(a₁, a₂) = (b₁, b₂) si et seulement si a₁ = b₁ et a₂ = b₂.

Cette propriété est à comparer avec l'égalité des paires, pour lesquelles b₁ et b₂ peuvent être permutés par rapport à a₁ et a₂, ce qui n'est pas le cas pour les couples.

Ceci est confirmé par le corollaire suivant :

Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques.

ce que l'on peut exprimer plus formellement par :

(a, b) = (b, a) si et seulement si a = b.

Par conséquent :

• pour un couple (a, b) : b ≠ a ⇒ (b, a) ≠ (a, b) ;
• pour une paire { a, b } : { b, a } = { a, b }[note 1].

L'ordre des composantes dans un couple a ainsi de l'importance, d'où la définition :

Si a est différent de b, le couple (b, a) est appelé couple symétrique ou encore couple réciproque du couple (a, b).

L'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à un ensemble quelconque X et la seconde à un ensemble quelconque Y est appelé produit cartésien de ces deux ensembles et se note X×Y. Les sous-ensembles de X×Y sont des graphes.

Étant donné un ensemble de couples C, l'ensemble des premières composantes des couples de C est appelé première projection de C, ou projection sur la première coordonnée :

A = {x | ∃ y (x, y) ∈ C} ;

l'ensemble B des secondes composantes des couples de C est appelé seconde projection de C, ou projection sur la seconde coordonnée :

B = {y | ∃ x (x, y) ∈ C}.

• (1 , 4) et (4 , 4) sont des couples d'entiers.
• Si E = { 1 , 2 , 3 } alors ({ 1 }, { 1 , 3 }) et (Ø, { 1 }) sont des couples de parties de E.

Les couples sont définis le plus souvent en théorie des ensembles de la façon suivante :

Pour x et y deux ensembles quelconques, on pose (x, y) = { {x}, {x, y} }.

Pour cette définition on doit utiliser trois fois l'axiome de la paire, d'abord pour former le singleton {x}, puis pour former la paire (ou singleton) {x, y}, et enfin pour former la paire (ou singleton) { {x}, {x, y} }.

On a bien défini la notion de couple de façon unique et satisfaisant la propriété caractéristique, dans une théorie des ensembles qui vérifie l'axiome de la paire et l'axiome d'extensionnalité :

pour tous ensembles x, y, x' et y', si { {x}, {x, y} } = { {x'}, {x', y'} }, alors x = x' et y = y'.

Il suffit en effet d'utiliser la condition d'égalité pour deux paires (ou singletons), en distinguant soigneusement tous les cas possibles[5] :

• soit {x} = {x'} et {x, y} = {x', y'}. Alors (égalité des deux singletons) x = x'. D'autre part (égalité des deux paires), soit x = x' et y = y', ce que l'on veut démontrer, soit x = y' et y = x', mais comme par ailleurs x = x', les 4 éléments sont égaux d'où le résultat ;
• soit {x} = {x', y'} et {x, y} = {x'}. On déduit de ces deux égalités que les 4 éléments sont égaux, d'où le résultat.

Supposons donné un ensemble de couples C. Alors les composantes de C appartiennent à l'ensemble E obtenu par réunion de la réunion des éléments de C, et donc on peut définir par compréhension les deux projections de C, soit l'ensemble A des premières composantes de C, et l'ensemble B de ses secondes composantes :
E=∪∪C ; A = {x ∈ E | ∃ y (x, y) ∈ C} ; B = {y ∈ E | ∃ x (x, y) ∈ C}.

Ceci est utile pour définir par exemple l'ensemble de définition ou l'ensemble image d'une relation ou d'une fonction vues comme des ensembles de couples (on utilise l'axiome de la réunion, et le schéma d'axiomes de compréhension).

En utilisant la paire, la réunion, l'axiome de l'ensemble des parties, puis la compréhension, on montre également que, X et Y étant deux ensembles donnés, les couples de Kuratowski dont la première composante appartient à X et la seconde à Y forment un ensemble qui est, pour ce codage, le produit cartésien de X et Y (voir produit cartésien#Représentation en théorie des ensembles). Le schéma d'axiomes de remplacement permet de se passer de l'ensemble des parties[6].

Toutes les propriétés utiles se démontrent donc dans la théorie des ensembles de Zermelo.

Wiener, en 1914, utilisait la définition suivante des couples : (x, y) = { { {x}, ∅ }, { {y} } }, qui est à peine plus compliquée que celle de Kuratowski.

On peut aussi utiliser (x, y) = {x, {x, y} } mais la preuve de la propriété caractéristique demande l'axiome de fondation. Cette définition a la propriété commode que le couple contient toujours deux éléments, x et {x, y} nécessairement distincts, ce qui n'est pas le cas des couples de Kuratowski ou de Wiener.

On appelle parfois en théorie des ensembles fonction de couplage une fonction (au sens intuitif, et non au sens de la théorie des ensembles dans laquelle on travaille) qui à deux objets quelconques x et y, associe un objet (x,y) vérifiant la propriété caractéristique des couples[7] :

( x, y ) = ( x', y' ) ⇔ ( x = x' et y = y' ).

La représentation des couples de Kuratowski ou celle de Wiener fournissent des exemples de fonction de couplage. Les propriétés mathématiques usuelles des couples se déduisent de la propriété caractéristique dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, indépendamment de la façon dont celle-ci est définie[7]. En particulier :

• pour toute fonction de couplage x, y ↦ (x, y), le produit cartésien de deux ensembles X et Y, X × Y = {(x,y) | x ∈ X et y ∈ Y} est bien un ensemble,
  en effet pour chaque y ∈ Y {(x, y) | x ∈ X} est un ensemble par remplacement d'où le résultat par remplacement et réunion[8] ;
• pour toute fonction de couplage x, y ↦ (x, y), la première projection d'un ensemble de couples forme bien un ensemble, de même que la seconde projection,
  en effet il suffit d'utiliser le remplacement pour une fonctionnelle associant à un ensemble qui est un couple (au sens de la fonction de couplage) sa première composante (sa seconde pour la seconde projection)[9].

D'après la seconde assertion, tout ensemble de couples est sous-ensemble d'un produit cartésien.