Paire
Une paire est un ensemble qui comprend exactement deux éléments.
Remarques
Exemples
Propriétés
Appartenance d'un élément à une paire (ou à un singleton)
Un élément x appartient à une paire si et seulement s'il est égal à l'un des deux éléments de cette paire. Cet énoncé est en fait tout autant valable pour un singleton. On peut donc l'écrire formellement, pour a et b donnés :
- âx, x â {a, b} â (x = a ou x = b)
(le « ou » en question désigne, comme d'habitude en mathématiques, une disjonction inclusive : l'énoncé reste vrai si x = a et x = b).
Cette proposition caractérise les paires (ou singletons). Dans l'axiomatisation de la théorie des ensembles, il y a un axiome spécifique, appelé axiome de la paire, qui exprime pour tout et l'existence d'une paire et qui se fonde sur cette proposition.
ĂgalitĂ© de deux paires
Deux paires sont égales si et seulement si leurs éléments sont égaux deux à deux, de l'une des deux façons dont on peut les associer. Plus précisément, pour deux paires ou singletons {a, b} et {c, d} :
- {a, b} = {c, d} â [(a = c et b = d) ou (a = d et b = c)].
Autres propriétés
Un raisonnement simple de dĂ©nombrement montre que le nombre de paires d'un ensemble fini Ă n Ă©lĂ©ments est Ă©gal Ă n(n â 1)2 (voir l'article « Combinaison »).
Histoire
Von Neumann, dans son article de 1923[1] - [2], qui est un des premiers sur la théorie des ensembles, note les paires , comme nous noterions aujourd'hui les couples. Remarquons qu'il définit l'entier comme étant la paire , qu'il écrit .
Notes et références
Notes
- En thĂ©orie des ensembles, on appelle « paire » un ensemble de deux Ă©lĂ©ments non nĂ©cessairement distincts. L'axiome de la paire fait par exemple aussi bien rĂ©fĂ©rence aux paires qu'aux singletons. En revanche, en combinatoire, une paire doit bien ĂȘtre formĂ©e de deux Ă©lĂ©ments distincts.
Références
- (de) Johann von Neumann, « Zur EinfĂŒhrung der transfiniten Zahlen », Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, vol. 1,â , p. 199-208 (lire en ligne).
- (en) John von Neumann, « On the introduction of transfinite numbers », dans Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, , 3e éd. (ISBN 0-674-32449-8, présentation en ligne, lire en ligne), p. 346-354.