Appartenance (mathématiques)

Première utilisation de ϵ par Giuseppe Peano.

Le symbole ${\displaystyle \in }$ a été introduit par Giuseppe Peano en 1889 dans Arithmetices principia, nova methodo exposita (en) (page X) :

« Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b ; ... »

Il s'agit d'un epsilon, première lettre de la troisième personne du singulier ἐστί du verbe « être » en grec ancien. Sa graphie correspond à celle répandue en Europe continentale à l'époque de Peano. Cependant Peano utilisera aussi le symbole ε[1].

La relation ${\displaystyle x\in E}$ se lisait ainsi à l'origine « ${\displaystyle x}$ est un ${\displaystyle E}$ »[1]. Cette formulation subsiste aujourd'hui dans une certaine mesure, par exemple lorsque l'on traduit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ par « ${\displaystyle n}$ est un entier naturel »[Note 3].

Dans le cas général ${\displaystyle x\in E}$ se lit de nos jours « ${\displaystyle x}$ appartient à ${\displaystyle E}$ », « ${\displaystyle x}$ est un élément de ${\displaystyle E}$ », ou « ${\displaystyle x}$ est dans ${\displaystyle E}$ »[Note 4].

La relation réciproque ${\displaystyle E\ni x}$, moins utilisée, se lit « ${\displaystyle E}$ contient ${\displaystyle x}$ », « ${\displaystyle E}$ comprend ${\displaystyle x}$ », ou « ${\displaystyle E}$ possède ${\displaystyle x}$ ». Le terme contient présente le désavantage d'être ambigu, pouvant également désigner l'inclusion. Utiliser possède, comme le recommande Gérard Debreu en soulignant que possède est le symétrique naturel de appartient[2], élude ce problème. D'autres auteurs, tels que Paul Halmos[3] ou George Boolos[4], recommandent plutôt d'utiliser systématiquement « ${\displaystyle E}$ contient ${\displaystyle x}$ » pour traduire ${\displaystyle E\ni x}$, et « ${\displaystyle E}$ inclut ${\displaystyle X}$ » pour ${\displaystyle E\supseteq X}$. Enfin, la plupart des auteurs, dont par exemple Nicolas Bourbaki[Note 4], n'utilisent tout simplement pas cette relation réciproque, tournant systématiquement leurs phrases de façon à pouvoir utiliser « ${\displaystyle x}$ appartient à ${\displaystyle E}$ » ou « ${\displaystyle x}$ est un élément de ${\displaystyle E}$ ».

En LaTex : ${\displaystyle x\in E}$ s'écrit en utilisant la commande « \in », signifiant dans en anglais ; ${\displaystyle E\ni x}$ s'écrit en utilisant l'une des commandes équivalentes « \ni » et « \owns », respectivement un « \in » inversé et possède en anglais.

Dans le langage de programmation Haskell qui admet une définition de listes en compréhension, l'appartenance se note <-.

La définition historique donnée par Cantor en 1895[5] est :

« Un ensemble est une collection ${\displaystyle M}$ d'objets issus de notre intuition ou de notre pensée (que nous appellerons éléments de ${\displaystyle M}$), considérée comme un tout. »

Par exemple, si ${\displaystyle M=\{1,2,3\}}$, alors ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ et ${\displaystyle 3}$ sont les éléments de ${\displaystyle M}$. Ils appartiennent à ${\displaystyle M}$.

On prendra garde à ne pas confondre « élément » et « sous-ensemble ». Dans l'exemple qui précède, ${\displaystyle \{1,2\}}$ et ${\displaystyle \{3\}}$ sont parmi d'autres des sous-ensembles de ${\displaystyle M}$ mais n'en sont pas des éléments. Ils n'appartiennent donc pas à ${\displaystyle M}$, au même titre que ${\displaystyle 7}$ ou ${\displaystyle \pi }$.

Les exposés contemporains de la théorie des ensembles la décrivent comme une théorie égalitaire du premier ordre comportant outre l'égalité = un seul prédicat binaire, l'appartenance ${\displaystyle \in }$[6]. Dans cette approche, la phrase « x est élément de M » n'est que la verbalisation de la formule ${\displaystyle x\in M}$.

Le formalisme le plus généralement admis est celui de Zermelo-Fraenkel.

Felix Hausdorff relève que cette approche ne constitue pas une définition à partir d'un concept antérieur, mais est un point de départ pour la formalisation d'une grande partie des mathématiques :

« on pourra objecter qu'on a défini idem per idem voire obscurum per obscurius. Il faut considérer qu'il n'y a pas là une définition mais un procédé d'exposition, une référence à un concept primitif familier à tous […][Note 5]. »

Dans l'expression « x est élément de M », la lettre M désigne souvent un ensemble. C'est notamment ce que suppose la présentation formelle donnée plus haut, où cette expression est notée ${\displaystyle x\in M}$.

Une théorie trop naïve des ensembles conduisant à des paradoxes fameux, comme celui créé par l'ensemble de tous les ensembles, il est parfois utile de considérer une relation d'appartenance d'un élément x à un objet M qui n'est pas un ensemble mais une classe. C'est par exemple le cas en théorie des catégories ; dans ce dernier contexte, toutefois, on utilise plutôt l'expression : « x est un "objet" de M ».

Dans le formalisme des classes de la théorie la plus couramment utilisée, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, les classes s'identifient à des prédicats unaires du langage. Dire que x est élément de la classe M correspondant au prédicat P, c'est simplement une autre façon de dire que P(x) est vrai.

Le symbole d'appartenance « ∈ » est un symbole mathématique introduit par Giuseppe Peano[7] pour l'appartenance en théorie des ensembles. Sa graphie correspond à celle de la lettre grecque epsilon en Europe continentale à cette époque.

Il en existe une version minuscule et une version barrée, et ces trois caractères ont également un codage Unicode renversé de droite à gauche.

Nom	Unicode		HTML	LaTeX
appartient à	∈	2208	∈	${\displaystyle \in }$	\in
n'appartient pas à	∉	2209	∉	${\displaystyle \notin }$	\notin
petit appartient à	∊	220A
contient comme élément	∋	220B	∋	${\displaystyle \ni }$	\ni ou \owns
ne contient pas comme élément	∌	220C		${\displaystyle \not \ni }$	\not\ni ou \not\owns
petit contient comme élément	∍	220D

Ce symbole est repris comme titre d'un recueil de poésie publié par Jacques Roubaud en 1967. Pour l'auteur, il est aussi « par extension, symbole de l'appartenance au monde de « l'être au monde »[8]. »

• Inclusion
• SETL, un langage de programmation fondé sur la notion d'ensemble
• Liste en compréhension