Prédicat (logique mathématique)

En logique mathématique, un prédicat d'un langage est une propriété des objets du domaine considéré (l'univers du discours) exprimée dans le langage en question. Plus généralement cette propriété peut porter non seulement sur des objets (on peut préciser prédicat d'arité 1, à une place, monadique ou bien encore unaire[1] - [2]), mais aussi sur des couples d'objets (on parle alors de prédicat binaire, ou d'arité 2, ou à deux places, ou encore de relation binaire), des triplets d'objets (prédicat ou relation ternaire ou d'arité 3 etc.), etc. Un prédicat d'arité n s'interprète, en logique classique, par une fonction à n argument sur l'univers du discours, et à valeurs dans les valeurs de vérité, faux et vrai (0 et 1).

Un langage du calcul des prédicats peut comporter des symboles primitifs pour représenter certains prédicats. Par exemple le prédicat binaire appelé « égalité » est noté « = » et est interprété sur le domaine considéré (nombres entiers, etc.), par l'égalité du domaine considéré (nombres entiers, etc.), ce qui signifie que si l'on écrit ${\displaystyle x=y}$ on veut dire que ${\displaystyle x}$ est même objet que ${\displaystyle y}$. Sur les nombres entiers naturels et dans de nombreux autres domaines le prédicat binaire « ≤ » représente un ordre, dont des axiomes précisent les propriétés. Sur l'univers d'une théorie des ensembles comme la théorie ZFC, la relation d'appartenance est notée « ∈ », c'est une notion primitive, qui intervient dans les axiomes de la théorie ; elle n'est pas introduite par une définition.

Le langage du calcul des prédicats permet de définir de nouveaux prédicats. Par exemple, sur les entiers naturels, le prédicat unaire « être inférieur ou égal à 4 » peut être défini par la formule « x ≤ 4 ».

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