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Inclusion (mathématiques)

En mathĂ©matiques, l’inclusion est une relation d'ordre entre ensembles. On dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les Ă©lĂ©ments de A sont aussi Ă©lĂ©ments de B. On dit dans ce cas que A est un sous-ensemble ou une partie de B, ou encore que B est sur-ensemble de A.

Diagramme d'Euler qui montre un ensemble A qui est inclus dans un ensemble B. On dit que A est sous-ensemble de B, ou que B est sur-ensemble de A.

Cette relation n'est pas symétrique a priori, car il peut y avoir des éléments du deuxiÚme ensemble qui n'appartiennent pas au premier. Plus précisément, il y a inclusion dans les deux sens entre deux ensembles si et seulement si ces deux ensembles sont égaux.

L'inclusion se note majoritairement[1] avec le symbole « ⊂ » introduit par Schröder, mĂȘme si d'autres auteurs rĂ©servent ce symbole Ă  l'inclusion stricte (c'est-Ă -dire excluant le cas d'Ă©galitĂ©), suivant ainsi la norme ISO[2]. L'inclusion au sens large peut alors ĂȘtre notĂ©e avec le symbole « ⊆ » de Felix Hausdorff, par analogie avec les symboles de comparaison numĂ©riques. Pour lever l'ambiguĂŻtĂ©, l'inclusion stricte peut aussi ĂȘtre notĂ©e « ⊊ », Ă  ne pas confondre avec la nĂ©gation de l'inclusion, qui se note « ⊄ » ou « ⊈ ». Tous ces symboles peuvent ĂȘtre rĂ©flĂ©chis pour reprĂ©senter les relations rĂ©ciproques.

DĂ©finitions

Soient deux ensembles A et B. Par dĂ©finition, A est inclus (au sens large) dans B si tout Ă©lĂ©ment de A est un Ă©lĂ©ment de B, A est inclus (au sens strict) dans B si de plus A ≠ B.

Inclusion au sens large

En notation symbolique, l’inclusion au sens large est notĂ©e ⊆ ou ⊂ ; par dĂ©finition (« ⇒ » dĂ©signe l'implication logique) :

A ⊆ B signifie ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

On peut aussi définir l'inclusion au sens large à partir de l'intersection ou de la réunion :

  • A ⊆ B si et seulement si A ∩ B = A ;
  • A ⊆ B si et seulement si A âˆȘ B = B.

La relation A ⊆ B peut se lire :

  • « A est inclus dans B »,
  • « A est une partie de B »,
  • « A est un sous-ensemble de B »[3].

et peut aussi s'Ă©crire B ⊇ A, qui se lit :

  • « B inclut A »,
  • « B est une extension de A »,
  • « B est un sur-ensemble de A ».

Sont également utilisés « B contient A » et « A est contenu dans B », qui peuvent par ailleurs signifier .

Certains auteurs, tels que Paul Halmos[4] et George Boolos[5], recommandent d'utiliser systĂ©matiquement « B inclut A » et jamais « B contient A » pour traduire B ⊇ A, afin d'Ă©viter toute confusion avec l'appartenance.

Inclusion au sens strict

L’inclusion au sens strict est notĂ©e ⊂ qui est le symbole de l'inclusion stricte selon la norme ISO 31-11[6] de l'Organisation internationale de normalisation (qui mentionne toutefois l'autre usage), ou ⊊, en particulier quand l'inclusion au sens large est notĂ©e ⊂.

L'usage du symbole ⊂ pour l'inclusion stricte s'explique par l'analogie avec le symbole <[7].

A ⊊ B signifie A ⊆ B et A≠B.

Variantes d'Ă©criture : .

  • « A est strictement inclus dans B »
  • « A est une partie propre de B »,
  • « A est un sous-ensemble propre de B »[8]

et peut aussi s'Ă©crire B ⊋ A, qui se lit :

  • « B inclut strictement A »,
  • « B est une extension propre de A »,
  • « B est un sur-ensemble propre de A ».

On dit que est un sous-ensemble non trivial d'un ensemble quand mais et [9].

Définition en compréhension

Une propriĂ©tĂ© des Ă©lĂ©ments d'un ensemble dĂ©finit un sous-ensemble de celui-ci. Ainsi, en reprenant l'un des exemples ci-dessus, la propriĂ©tĂ© « ĂȘtre pair » dĂ©finit, sur l'ensemble des entiers naturels N, l'ensemble 2N des entiers pairs. On dit que l'ensemble a Ă©tĂ© dĂ©fini par comprĂ©hension et on note :

2N={n ∈ N | n est pair} = {n ∈ N | (∃q ∈ N) n=2q}

Toute propriété (quand on l'exprime dans un langage précis on parle de prédicat de ce langage) définit par compréhension un sous-ensemble d'un ensemble donné.

Ensemble des parties

L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble E donné est appelé ensemble des parties de E, et noté habituellement « (E) », ou (écriture gothique) « (E) », voire simplement « P(E) » (lire dans tous les cas « P de E »).
On a ainsi :

X ∈ (E) si et seulement si X ⊆ E.

Par exemple si A = { a, b }, alors (A) = { Ø, { a }, { b }, A }.

Dans ce cas on aura par exemple a ∈ A, donc {a} ⊆ A, c'est-à-dire {a} ∈ (A).

Les propriétés de l'ensemble des parties, en particulier celles ayant trait à la cardinalité, sont détaillées dans l'article ensemble des parties d'un ensemble. Pour le cas fini, qui relÚve de la combinatoire, voir aussi l'article combinaison.

Fonction caractéristique

Un sous-ensemble A d'un ensemble E peut ĂȘtre dĂ©fini par sa fonction caractĂ©ristique , dĂ©finie par : χA(x) vaut 1 si x est Ă©lĂ©ment de A, et 0 sinon :

et donc (χA(x) Ă©tant Ă  valeurs dans {0, 1})

.

RĂ©ciproquement toute fonction χ de E dans {0, 1} dĂ©finit un sous-ensemble de E qui est {x ∈ E | χ(x) = 1}. On a donc une correspondance bijective entre les sous-ensembles de E et les fonctions de E dans {0, 1}, c'est-Ă -dire entre (E) et {0, 1}E.

Définition en théorie des types

 En , une formulation[10] de la thĂ©orie des types, l'inclusion est reprĂ©sentĂ©e par le terme dĂ©fini comme l'abrĂ©viation du terme

Exemples

Par exemple l'ensemble des entiers naturels non nuls ℕ* est inclus dans l'ensemble des entiers naturels ℕ, de mĂȘme que l'ensemble des entiers naturels pairs 2ℕ, mais 2ℕ n'est pas inclus dans ℕ* car 0 ∈ 2ℕ, mais 0 ∉ ℕ* :

ℕ* ⊆ ℕ, 2ℕ ⊆ ℕ, 2ℕ ⊄ ℕ*.

On peut remarquer que, comme il existe des entiers naturels non nuls qui ne sont pas pairs, 1 par exemple, ℕ* n'est pas non plus inclus dans 2ℕ : ℕ* ⊄ 2ℕ. On dit alors que ces deux ensembles ne sont pas comparables pour l'inclusion.


Propriétés de l'inclusion

L'ensemble vide est l'ensemble qui n'a pas d'éléments, et on le note Ø.

Proposition (ensemble vide). L'ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble, c'est-Ă -dire que pour tout ensemble A :

∅ ⊆ A

DĂ©monstration : nous devons dĂ©montrer que Ø est un sous-ensemble de A, c'est-Ă -dire que tous les Ă©lĂ©ments de Ø sont des Ă©lĂ©ments de A, mais il n’existe pas d’élĂ©ments de Ø. Pour qui a un peu la pratique des mathĂ©matiques, l'infĂ©rence « Ø n’a pas d’élĂ©ments, donc tous les Ă©lĂ©ments de Ø sont des Ă©lĂ©ments de A » est Ă©vidente, mais cela peut ĂȘtre dĂ©rangeant pour le dĂ©butant. Il peut ĂȘtre utile de raisonner diffĂ©remment (par l’absurde). Si nous avions supposĂ© que Ø n'Ă©tait pas un sous-ensemble de A, nous aurions pu trouver un Ă©lĂ©ment de Ø n’appartenant pas Ă  A. Comme il n’existe pas d’élĂ©ment de Ø, c’est impossible et donc Ø est par consĂ©quent un sous-ensemble de A.

Nous avons aussi la proposition suivante.

Proposition (rĂ©flexivitĂ©). Tout ensemble est inclus dans lui-mĂȘme, c'est-Ă -dire que pour tout ensemble A :

A ⊆ A.

On dit que l'inclusion est une relation rĂ©flexive. Pour le prouver, il suffit de reprendre la dĂ©finition de l’inclusion.

Une autre propriété qui elle aussi repose seulement sur la définition de l'inclusion est la transitivité.

Proposition (transitivité). Pour trois ensembles quelconques A, B et C, si A est un sous-ensemble de B et B est un sous-ensemble de C, alors A est un sous-ensemble de C, c'est-à-dire que :

(A ⊆ B et B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C.

de mĂȘme

(A ⊊ B et B ⊊ C) ⇒ A ⊊ C.

Contrairement aux propositions prĂ©cĂ©dentes, qui se dĂ©montrent de façon purement logique, en revenant aux dĂ©finitions, la propriĂ©tĂ© d'antisymĂ©trie repose sur la notion mĂȘme d'ensemble : c'est en fait la simple traduction d'une propriĂ©tĂ© fondamentale des ensembles, dite propriĂ©tĂ© d'extensionnalitĂ©, Ă  savoir que deux ensembles sont Ă©gaux si et seulement s'ils ont les mĂȘmes Ă©lĂ©ments.

Proposition (antisymétrie). Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est un sous-ensemble de B et B est un sous-ensemble de A, c'est-à-dire :

A = B si et seulement si (A ⊆ B et B ⊆ A)

Quel que soit l’ensemble E, l’inclusion munit donc son ensemble des parties (E) d’une relation d'ordre, qui n'est plus un ordre total dĂšs que E possĂšde au moins deux Ă©lĂ©ments. En effet si a et b sont deux Ă©lĂ©ments distincts de E, les singletons {a} et {b} sont des parties de E qui ne se comparent pas pour l'inclusion. Cet ordre a toujours un plus petit Ă©lĂ©ment, Ø l'ensemble vide, et un plus grand Ă©lĂ©ment, l'ensemble E.

Cet ordre n'est donc pas total en général mais a d'autres propriétés remarquables.

Proposition (intersection finie). Pour deux ensembles A et B quelconques, on peut dĂ©finir l'intersection de A et B, qui est l'ensemble des Ă©lĂ©ments communs Ă  A et Ă  B, notĂ© A ∩ B. Cet ensemble est le seul Ă  ĂȘtre inclus dans A et dans B, et Ă  inclure tout ensemble inclus Ă  la fois dans A et dans B :

A ∩ B ⊆ A et A ∩ B ⊆ B ;
si C ⊆ A et C ⊆ B, alors C ⊆ A ∩ B.

On dit que l'ensemble A ∩ B est la borne inférieure de A et B pour l'inclusion.

On a une propriété analogue (on dit duale, en un sens précis) pour la réunion.

Proposition (rĂ©union finie). Pour deux ensembles A et B quelconques, on peut dĂ©finir la rĂ©union de A et B, qui est l'ensemble des Ă©lĂ©ments appartenant Ă  A ou Ă  B, notĂ© A âˆȘ B. Cet ensemble est le seul Ă  inclure Ă  la fois A et B, et Ă  ĂȘtre inclus dans tout ensemble incluant Ă  la fois A et B :

A ⊆ A âˆȘ B et B ⊆ A âˆȘ B ;
si A ⊆ C et B ⊆ C, alors A âˆȘ B ⊆ C.

On dit que A âˆȘ B est la borne supĂ©rieure de A et B pour l'inclusion.

Pour tout ensemble E l'inclusion munit donc (E) d'une structure d'ordre que l'on appelle un treillis. Du fait des propriétés de distributivité de la réunion vis-à-vis de l'intersection, et de l'intersection vis-à-vis de la réunion, ce treillis est dit distributif.

Des propriétés des intersections et réunions binaires, on pourrait déduire facilement un résultat analogue pour les intersections et réunions finies, mais on a un résultat plus fort :

Proposition (intersection et rĂ©union quelconques). Pour une famille quelconque d'ensembles (Ai)i ∈ I, on peut dĂ©finir l'intersection des Ă©lĂ©ments de la famille, ∩i ∈ IAi, et leur rĂ©union âˆȘi ∈ IAi. L'intersection des Ai est le plus grand des ensembles inclus dans chacun des Ai, la rĂ©union des Ai est le plus petit des ensembles incluant tous les Ai.

Le treillis de l'inclusion sur (E) est dit complet. Il s'agit mĂȘme d'une algĂšbre de Boole, puisque tout sous-ensemble de E a un complĂ©mentaire dans E.

Proposition (complémentaire). Soit E un ensemble. On appellera complémentaire d'un sous-ensemble A de E, le sous-ensemble de E constitué des éléments de E qui ne sont pas dans A, et on le notera . On a :

et

On montre alors que :

si et seulement si .

Théorie axiomatique des ensembles

En théorie des ensembles, dans la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, l'inclusion n'est pas une notion primitive. elle est définie à partir de l'appartenance comme indiquée au début de l'article. Comme déjà mentionné, des propriétés de l'inclusion, comme la réflexivité et la transitivité, sont des conséquences purement logique de cette définition et l'antisymétrie de l'inclusion est exactement l'axiome d'extensionnalité.

L'existence d'un plus petit élément (ensemble vide) se montre par compréhension (voir axiome de l'ensemble vide). Il n'y a pas de plus grand élément pour l'inclusion dans l'univers de la théorie des ensembles : s'il existait un ensemble incluant tous les ensembles on pourrait, en utilisant le schéma d'axiomes de compréhension, dériver le paradoxe de Russell.

L'existence d'une borne infĂ©rieure (intersection) se dĂ©montre par comprĂ©hension. L'existence d'une borne supĂ©rieure (rĂ©union) dans le cas d'un ensemble d'ensembles, nĂ©cessite un axiome spĂ©cifique, l'axiome de la rĂ©union. À chaque fois l'axiome d'extensionnalitĂ© est utile pour dĂ©montrer l'unicitĂ©.

L’existence de l'ensemble des parties d'un ensemble nĂ©cessite Ă©galement un axiome spĂ©cifique, l’axiome de l'ensemble des parties, et son unicitĂ© est encore une fois assurĂ©e par l’axiome d'extensionnalitĂ©.

L'appartenance et l'inclusion sont en général bien distinctes dans les mathématiques ordinaires. En théorie des ensembles une notion trÚs utile est celle d'ensemble transitif : un ensemble dont tous les éléments sont aussi des sous-ensembles ! En particulier Les ordinaux sont des ensembles transitifs. La restriction de l'inclusion à un ordinal définit un bon ordre (et donc un ordre total), l'ordre strict correspondant est l'appartenance.

Si on introduit la notion de classe (que la notion de classe soit ou non formalisĂ©e dans la thĂ©orie, voir l'article correspondant), comme celle-ci correspond Ă  la notion de prĂ©dicat, on peut dĂ©finir de façon tout Ă  fait analogue l'inclusion entre classes. La classe de tous les ensembles est maximale pour l'inclusion. On peut dĂ©finir l'intersection et la rĂ©union de deux classes, et donc d'un nombre fini de classes par conjonction et disjonction, le passage au complĂ©mentaire, par nĂ©gation. Le complĂ©mentaire d'un ensemble dans une classe propre, en particulier dans la classe de tous les ensembles, ne peut cependant ĂȘtre un ensemble (par rĂ©union). Il n'est pas question par contre non plus d'ensemble, ou mĂȘme de classe, des parties d'une classe propre, celles-ci pouvant ĂȘtre elles-mĂȘmes des classes propres.

Voir aussi

Notes

  1. Hans Freudenthal, « Notation mathĂ©matique », Dictionnaire des mathĂ©matiques – fondements, probabilitĂ©s, applications, EncyclopĂŠdia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.
  2. Référence ISO 31-11.
  3. L'ensemble vide et B sont les deux « sous-ensembles triviaux » de B.
  4. (en) Paul Halmos, « How to Write Mathematics », L'Enseignement mathĂ©matique, vol. 16,‎ , p. 144 (lire en ligne)
  5. George Boolos (4 février 1992). 24.243 Classical Set Theory (lecture). (Speech). Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA.
  6. (en) [PDF] ISO 31-11.
  7. De mĂȘme que ≀, ⊆ est une relation d'ordre. Il est donc naturel que <, ⊂ dĂ©signent les « versions strictes » de ces relations.
  8. Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions], p. 3 dans l'édition de 1974.
  9. Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Jean Weil et Impr. de la Manutention), AlgÚbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorÚmes, théorie de Galois, J. Gabay, (ISBN 2-87647-138-8 et 978-2-87647-138-2, OCLC 490130463), p. 3
  10. Peter Bruce Andrews, An introduction to mathematical logic and type theory: to truth through proof, Academic Press,
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