Coefficient de traînée

Le coefficient de traînée ${\displaystyle C_{x}}$ est défini par[3] :

${\displaystyle C_{x}={\frac {F_{x}}{{\frac {1}{2}}\rho \,v^{2}\,S}}}$

où :

${\displaystyle F_{\mathrm {x} }\,}$ est la force de traînée, qui est par définition la composante de la force dans la direction du vecteur vitesse,

${\displaystyle \rho \,}$ est la masse volumique du fluide,

${\displaystyle v\,}$ est la vitesse de l'objet relativement au fluide,

${\displaystyle S\,}$ est la surface de référence.

La masse volumique et la vitesse sont prises à l'infini amont (ou en tous cas loin de toute perturbation locale due à l'objet).

Le numérateur et le dénominateur ont les dimensions d'une force. Au dénominateur, on retrouve l'expression de la pression dynamique ${\displaystyle P_{dyn}}$ donnée par ${\displaystyle P_{dyn}=\textstyle {\frac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}}$ qui est multipliée par la surface de référence ${\displaystyle S}$. Cette dernière est choisie arbitrairement. Souvent, on prend la surface du maître-couple, projection du solide sur un plan perpendiculaire au déplacement, sauf dans le cas des ailes en aéronautique, pour lesquelles on rapporte les forces à la surface alaire, projection des ailes sur un plan contenant la corde des profils, ce qui permet de comparer des profils indépendamment de leur épaisseur. Néanmoins pour des études particulières, d'autres surfaces de référence peuvent être utilisées.

Trois corps produisant la même traînée (en newtons) mais de coefficients de traînée très différents.

Les ${\displaystyle C_{x}}$ des trois corps 2D[alpha 4] de même traînée montrés dans l'image ci-contre sont très différents[alpha 5]. Le corps bleu, le plus grand, possède un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,05 (c'est un corps de moindre traînée). Le petit tiret rouge vertical à peine visible devant la section du cylindre rouge possède, quant à lui, un ${\displaystyle C_{x}}$ de 2 (c'est ce que l'on nomme une palette infinie). Ce ${\displaystyle C_{x}}$ étant 40 fois plus fort que celui du corps de moindre traînée bleu, la surface frontale de cette palette doit être 40 fois plus faible pour susciter la même traînée que le corps bleu à vitesse d'écoulement égale.
Pour le ${\displaystyle C_{x}}$ du cylindre rouge voir les notes dans la page de définition de l'image.

Notée ${\displaystyle F_{x}}$ ou ${\displaystyle R_{x}}$, elle s’exprime en newtons et est une force dépendante du ${\displaystyle C_{x}}$ et d’autres facteurs aérodynamiques cités plus haut. On peut l’exprimer par la formule suivante[4] - [5] :

${\displaystyle F_{x}={\frac {1}{2}}\,\rho \,S\,C_{x}\,v^{2}}$

où ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique du fluide dans lequel a lieu le déplacement (en kg/m³), ${\displaystyle S}$ la surface de référence ayant été choisie lors de la détermination du ${\displaystyle C_{x}}$ (en m²), ${\displaystyle C_{x}}$ ledit coefficient de traînée (sans dimension), et ${\displaystyle v}$ la vitesse relative du mobile par rapport au fluide (en m/s).

Cette équation est basée sur l'hypothèse que la force de traînée de tout objet est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse relative. En réalité, sauf pour quelques corps particuliers, le ${\displaystyle C_{x}}$ n'est pas constant mais varie légèrement en fonction de la vitesse du fluide, de la taille de l'objet et de la densité et viscosité du fluide. Par chance, la vitesse, la viscosité cinématique et une longueur caractéristique de l'objet peuvent être incorporées dans un unique paramètre sans dimension : le nombre de Reynolds ${\displaystyle Re}$. Le ${\displaystyle C_{x}}$ apparaît alors comme une fonction de ce seul nombre de Reynolds ${\displaystyle Re}$.

• Distribution des vitesses du fluide autour d'un obstacle selon sa forme
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Signification physique du coefficient de traînée

Cx frontal des dièdres pleins ou creux, d'après Hoerner.

Le coefficient de traînée ${\displaystyle C_{x}}$ rend compte de la perturbation qu'impose le corps au fluide lors de son mouvement relatif dans ce fluide.

Une des méthodes possibles de détermination du ${\displaystyle C_{x}}$ est d'observer la diminution de quantité de mouvement du courant d'air d'une soufflerie causée par la présence du corps. Il s'avère que cette diminution, pour les corps abruptes causant un décollement de l'écoulement, est liée à l'angle avec lequel les filets fluides quittent le corps.

Le graphe ci-contre (d'après Hoerner[6]) dessine la valeur du ${\displaystyle C_{x}}$ frontal de corps abruptes 2D[alpha 4] (en référence à leur surface telle que vue par l'écoulement), selon le demi angle ${\displaystyle \varepsilon }$ auquel se produit le décollement de l'écoulement que ces corps induisent (on pourrait appeler cet angle angle de décollement ou encore angle de projection de l’écoulement). Lorsque ce demi angle ${\displaystyle \varepsilon }$ atteint ${\displaystyle 90}$°, le dièdre 2D est devenu une palette infinie et Hoerner continue le graphe en considérant que les ${\displaystyle \varepsilon \geq 90}$° dessinent des dièdres creux.

Cas d'un fluide compressible

Influence de la compressibilité sur le ${\displaystyle C_{x}}$ de la sphère.

${\displaystyle C_{x}}$ de la sphère en fonction de son diamètre et du nombre de Mach.

Dans le cas d'un fluide compressible à grande vitesse comme l'air[alpha 6], le ${\displaystyle C_{x}}$ est aussi fonction du nombre de Mach ${\displaystyle Ma}$. Le graphe ci-contre à droite montre l'évolution du ${\displaystyle C_{x}}$ de sphères de différents diamètres (courbes bleues) en fonction de leur Reynolds : lorsque ce Reynolds augmente (et donc leur vitesse pour un diamètre donné), ces sphères connaissent les affres transsoniques et leur ${\displaystyle C_{x}}$ croît vertigineusement.
Il est remarquable que, pour les plus grosses sphères, le Reynolds peut augmenter sans que soit approché le mur du son[alpha 7]. La courbe pour ces grosses sphères est alors la courbe classique du ${\displaystyle C_{x}}$ selon le Reynolds en incompressible.
Le graphe ci-contre à gauche présente les choses d'une autre façon. On y observe que les courbes correspondant aux diamètres de 12,5 à 200 mm se rassemblent toutes au-dessus de Mach 0,85 pour faire cause commune. Plus à gauche sur le même graphe, on observe que les sphères de grands diamètres (diamètres égaux ou supérieurs à 50 mm) connaissent leur crise de traînée avant d'être confrontées au mur du son (les sphères de plus petits diamètres vivent le mur du son alors qu’elles sont encore en Reynolds sous-critiques et donc ne montrent aucune crise de traînée).

Bien que les ${\displaystyle C_{x}}$ soient le plus souvent donnés en référence à la surface frontale (sauf dans l'aviation où ils sont donnés en référence à la surface alaire), on trouve des ${\displaystyle C_{x}}$ donnés en référence à beaucoup d’autres surfaces. Dans la pratique, le ${\displaystyle C_{x}}$ d’un corps peut être établi en référence à n’importe quelle surface (même une surface qui n’appartienne pas au corps) pourvu que cette surface de référence soit précisée[alpha 8].

Pour bien raisonner au sujet du choix de la surface de référence, il faut prendre conscience de la fonction du ${\displaystyle C_{x}}$. La première fonction de ce coefficient a été historiquement d'effectuer des comparaisons entre des corps de formes identiques mais d’échelles différentes et exposés aux courants de fluides différents. Ainsi le ${\displaystyle C_{x}}$ de la plaque carrée exposée normalement[alpha 9] a-t-il été mesuré assez tôt dans l'eau et dans l'air[alpha 10]. Cependant, les ${\displaystyle C_{x}}$ mesurés de la sorte ne concordaient pas tout à fait (du fait, essentiellement, du mode opératoire des mesures). De même le ${\displaystyle C_{x}}$ de la sphère dans l'air et dans l'eau a été mesuré très tôt par Isaac Newton et ceci avec une précision étonnante. Cependant pour cette forme particulière qu'est la sphère, allait se développer une controverse portant sur les valeurs disparates dégagées par les mesures en soufflerie[alpha 11] : c'est que pour de tels corps « non abrupts » s'invite un nouveau critère : le nombre de Reynolds, qui va caractériser l'écoulement, c'est-à-dire que pour des Reynolds différents on va avoir des écoulements différents, à savoir des lignes de courant autour du corps tout à fait différentes (voir par exemple cette image) et d'ailleurs deux ${\displaystyle C_{x}}$ très différents.

Ainsi, par exemple, le ${\displaystyle C_{x}}$ d’un cube exposé normalement vaut 1,05. Pour ce corps à arêtes vives, le nombre de Reynolds n’intervient pas sur le ${\displaystyle C_{x}}$. On obtiendra donc, par des mesures, le même ${\displaystyle C_{x}}$ pour tous les cubes (exposés normalement) quelle que soit leur échelle (c.-à-d. : que ces ${\displaystyle C_{x}}$ aient été relevés sur des cubes de 10 cm ou de 10 m de côté) et quel que soit le fluide dans lequel ils se déplacent.

Par contre, pour d’autres corps, comme la sphère, le cylindre ou les corps profilés 2D[alpha 4] et 3D[alpha 12], le nombre de Reynolds a beaucoup d’influence sur le ${\displaystyle C_{x}}$ mesuré. Il conviendra donc de comparer les ${\displaystyle C_{x}}$ de tels corps à nombres de Reynolds proches. Pour la sphère et le cylindre, l’influence du nombre de Reynolds diamétral est même décisive dans la zone dite de crise de traînée (où une très petite variation du nombre de Reynolds pouvant produire une division du ${\displaystyle C_{x}}$ par un facteur 5 pour la sphère lisse, par exemple).

Le Cx de la sphère est très dépendant du nombre de Reynolds.

Fort heureusement, ainsi que le montre le graphe ci-contre, le ${\displaystyle C_{x}}$ s’avère peu ou prou constant dans la plage de nombre de Reynolds diamétral courant de 40 000 à 300 000. Dans cette plage, nommée plage de Newton[alpha 13], la comparaison du ${\displaystyle C_{x}}$ de sphères lisses de diamètres différents est donc aisée[alpha 14].

De la même façon, et même pour le cylindre et les corps profilés, le ${\displaystyle C_{x}}$ peut présenter des plages de relative invariance avec le nombre de Reynolds[alpha 15], ce qui facilitera la comparaison des ${\displaystyle C_{x}}$ de corps de tailles différentes.

Comme surface de référence, les ingénieurs choisissent la surface la plus significative pour les comparaisons entre des corps de mêmes formes ou de formes approchantes :

• s’il s’agit, par exemple, de caréner un chargement de forme globalement sphérique, c’est naturellement la section circulaire circonscrite au chargement qui sera choisie comme surface de référence ;
• s’il s’agit de caréner une roue de train d’atterrissage, c’est la surface frontale de cette roue que l’on prendra comme surface de référence[alpha 16] - [alpha 17] ;
• s’il s’agit de dessiner les formes d’un corps fuselé de volume donné comme un dirigeable ou un sous-marin, c’est la puissance 2/3 du volume du corps qui sera choisie comme surface de référence (cette surface étant une surface virtuelle) ;

Sous-marin Albacore en soufflerie.

• si l’on s’intéresse à la traînée de friction d’un corps profilé (image du sous-marin Albacore ci-contre), c’est bien la surface mouillée totale de ce corps qui constituera la meilleure surface de référence puisque la traînée de tels corps profilés est essentiellement une traînée de friction (laquelle est liée à la surface mouillée et, bien sûr, au nombre de Reynolds[alpha 18]) ;
• si l’on s’intéresse au ${\displaystyle C_{x}}$ d’une aile, c’est la surface alaire que l’on prendra comme référence, de sorte que la finesse de l’aéronef (son rapport Portance/Traînée) sera facile à obtenir[alpha 19] ;
• s’agissant de la traînée d’une automobile, la surface de référence devrait être, idéalement, non pas la surface frontale du véhicule, mais la surface frontale d’un certain volume de vie (volume de vie des passagers qui serait normalisé selon le confort de route exigé[alpha 20]) ou éventuellement de la puissance 2/3 de ce volume de vie normalisé. Le ${\displaystyle C_{x}}$ ainsi déterminé deviendrait réellement celui d’un corps à volume de vie donné, puisque la fonction d’une automobile est de transporter avec le moins de dépense d’énergie un certain nombre de passagers dans des conditions de confort données. Dans la pratique, cet surface de référence idéale n’existe pas et la surface de référence des ${\displaystyle C_{x}}$ annoncés par les constructeurs d’automobiles (ces ${\displaystyle C_{x}}$ étant des arguments commerciaux) reste souvent non précisée : la surface frontale des rétroviseurs est-elle intégrée à cette surface de référence ?, par exemple. De plus, plusieurs façons de mesurer la surface frontale d’un véhicule coexistent, l’une d’entre elles intégrant l’espace existant sous la voiture entre les roues.

La Schlörwagen (l'avant est à gauche).

À titre d’exercice, on peut penser au ${\displaystyle C_{x}}$ de la voiture de Karl Schlör (image ci-contre) : Karl Schlör a en effet abaissé notablement la traînée de son véhicule en carénant presque totalement les roues avant. Mais, ce faisant, il a gagné sur les deux tableaux puisque le calcul du ${\displaystyle C_{x}}$ se fait à partir d’une traînée diminuée (ce qui est juste) mais aussi à partir d’une surface frontale augmentée de 14 % (ce qui cause des problèmes d’encombrement du véhicule), cette augmentation de la surface frontale diminuant d'autant le ${\displaystyle C_{x}}$.

La coque nue du sous-marin Albacore (le vent vient de droite).

Dans la pratique, on trouve dans les textes techniques toutes sortes de surfaces de référence. L’exemple du sous-marin Albacore (image ci-contre lors de tests dans la soufflerie grandeur nature de Langley en 1950) est instructif à ce sujet dans la mesure où la surface de référence adoptée par les ingénieurs de la NACA est le carré de la longueur ${\displaystyle L}$ du modèle[7]. Cette surface (virtuelle) de référence est curieuse, mais c’est sans importance puisqu’elle est précisée. Le ${\displaystyle C_{x}}$ annoncé (en référence à ${\displaystyle L^{2}}$) étant ${\displaystyle 0,00115}$, on en tire facilement la traînée (${\displaystyle 0,00115\,q\,L^{2}}$, si ${\displaystyle q}$ est la pression dynamique). En divisant cette traînée par ${\displaystyle q}$ et la surface frontale ${\displaystyle \pi D^{2}/4}$, on écrit le ${\displaystyle C_{x}}$ frontal :

${\displaystyle C_{x}={\frac {0,00115\,L^{2}}{(\pi D^{2}/4)}}}$

L’élancement ${\displaystyle L/D}$ du modèle étant ${\displaystyle 4,48}$, on obtient finalement le ${\displaystyle C_{x}}$ frontal très faible de ${\displaystyle 0,0295}$ pour ce corps profilé[alpha 21].

La surface de référence choisie peut être virtuelle.

Dernière remarque : Il faut prendre conscience, même dans le cas apparemment simple du coefficient de traînée d'une automobile, que la surface de référence choisie peut être virtuelle : sur l'image ci-contre, la surface de référence choisie est la surface projetée sur un plan perpendiculaire à la vitesse ; or aucune section de la voiture ne dessine cette surface de référence. C'est sans importance :

• car cette surface de référence est vraiment représentative de la grandeur de la voiture en tant qu'obstacle à l'écoulement ;
• parce que ce choix de surface de référence sera précisé.

Le ${\displaystyle C_{x}}$ intervient dans le calcul de la finesse aérodynamique (c'est le rapport ${\displaystyle {\tfrac {C_{z}}{C_{x}}}}$ l'un et l'autre calculé sur base de la surface alaire). Cette finesse aérodynamique représente en quelque sorte le rendement de l'aérodyne (avion, planeur, hélicoptère) : plus la finesse d'un aérodyne est faible, plus son moteur devra apporter de puissance pour entretenir le vol horizontal.

Animation de la balance dynamométrique du Colonel Renard.

La détermination du coefficient de traînée a été tentée très tôt (d'abord par Desaguliers et Newton) par l'observation de la chute des corps (dans l'air ou dans l'eau)[alpha 22]. À la fin du 19ème siècle et au début du vingtième siècle, des espoirs ont été placés dans des appareils de mesures rotatifs tels que celui de l'animation ci-contre[alpha 23] - [alpha 24].

Distribution des coefficients de pression sur les faces avant et arrière du disque.

Distribution des coefficients de pression sur la palette rectangulaire infinie.

Pour certains corps simples non profilés (par exemple la plaque rectangulaire infinie ou palette, ou le disque circulaire face à l'écoulement, figures ci-dessous) le ${\displaystyle C_{x}}$ ne dépend pas du nombre de Reynolds de l'écoulement (l'intégration des coefficients de pression sur toutes les surfaces de ces deux corps donne donc le ${\displaystyle C_{x}}$).
Cependant, pour la plupart des autres corps, le ${\displaystyle C_{x}}$ dépend du nombre de Reynolds de l'écoulement. De sorte que, pour tous ces autres corps, en plus de dépendre de leurs formes, le ${\displaystyle C_{x}}$ dépend du coefficient de friction, c.-à-d. de la forme du profil de vitesse dans la Couche Limite (profil « turbulent », profil laminaire), ainsi qu'éventuellement de la traînée induite par la portance, s'il en est.

Le coefficient de friction dépend du nombre de Reynolds de l'écoulement sur le corps et du degré de laminarité de la surface de ce corps (voir l'article Couche limite).

• En aérodynamique, le ${\displaystyle C_{x}}$ d'une aile (en référence à la surface alaire) est d'environ 0,005 à 0,010 en vol, selon le nombre de Reynolds et la laminarité.
• En hydrodynamique, le ${\displaystyle C_{x}}$ d'un foil (aile portante immergée) est d'environ 0,03 (en référence à la surface alaire) à la vitesse de croisière (pour un ${\displaystyle C_{z}}$ de 0,6 et une finesse de 20).
• En physique du sport, le ${\displaystyle C_{x}}$ d'un coureur comme Usain Bolt est de 1,2[8] - [alpha 25].
• Automobile : il peut être en dessous de 0,14 (en référence au maître couple) pour des engins qui effectuent des records de kilomètres avec un litre d'essence. Pour les berlines familiales construites en 2000, le ${\displaystyle C_{x}}$ est de 0,25 pour les plus aérodynamiques[9]. La première voiture de grande série à être étudiée pour son aérodynamique fut la Citroën DS, de 1955 ; conçue par l'ingénieur aéronautique André Lefebvre, elle atteignait un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,38. Elle fut d'ailleurs remplacée par la Citroën CX, qui portait bien son nom. Dans les voitures plus modernes, le ${\displaystyle C_{x}}$ est de 0,31 pour la citadine Citroën AX ou encore 0,35 pour la Renault Clio II. En 1989, l'Opel Calibra obtient le record pour un véhicule de 4 places avec un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,26 et ne sera détrônée que 20 ans plus tard par la Toyota Prius commercialisée en 2009 qui a un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,25. La Mercedes-Benz Classe E coupé a un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,24 ; il est devenu le plus bas pour les voitures de série jusqu'à la sortie en 2013 de la Mercedes-Benz CLA où la voiture a été étudiée pour que la traînée soit réduite même dans le soubassement du véhicule pour atteindre un ${\displaystyle C_{x}}$ de 0,22.

C_x d'une sphère

La sphère est une forme qui a été particulièrement étudiée en aérodynamique.

Variations du ${\displaystyle C_{x}}$ d'une sphère en fonction du nombre de Reynolds.

• Le ${\displaystyle C_{x}}$ d'une sphère[alpha 26] a été mesuré sur une large gamme de valeurs du nombre de Reynolds « diamétral » (figure ci-contre)[alpha 27]. Comme on le voit sur ce diagramme, un peu au-dessus du Reynolds 300 000, le ${\displaystyle C_{x}}$ de la sphère lisse est brusquement divisé par un facteur 5. C’est ce qu’on appelle « la crise de traînée de la sphère ». Ce phénomène très contre-intuitif a été constaté en premier par Giulio Costanzi de la Brigada Specialisti, à Rome, puis par Eiffel et expliqué ensuite par Prandtl comme étant dû à la transition de la Couche Limite autour de la sphère (transition depuis le régime laminaire jusqu’au régime turbulent). En conséquence, les ingénieurs considèrent souvent que la sphère lisse présente deux ${\displaystyle C_{x}}$ : Le ${\displaystyle C_{x}}$ sous-critique (0,5 entre les Reynolds 1 000 et 300 000, plage qui est nommée « plage de Newton » parce que Newton y réalisa les premières mesures de ${\displaystyle C_{x}}$) et le ${\displaystyle C_{x}}$ supercritique (~0,1 pour les Reynolds au-dessus de 350 000).
• Cette crise de traînée de la sphère est représentative de ce qui se passe sur les corps profilés 3D[alpha 12] (comme les dirigeables) qui connaissent également une crise de traînée.
• Tout comme la sphère, le cylindre circulaire connaît, à un certain Reynolds, une crise de traînée, avec brusque chute du ${\displaystyle C_{x}}$, ainsi que tous les corps profilés 2D[alpha 4] (comme les profils d’ailes, voir à ce sujet le graphe plus bas). C’est ce qui oblige à donner aux ailes des avions très lents (comme les avions à propulsion humaine) des profils très particuliers. Pour cette même raison, le bord d’attaque des ailes d’insectes ou de certains modèles réduits sont soit carrés soit dotés de poils turbulateurs…

On peut résumer les principales variations du ${\displaystyle C_{x}}$ de la sphère comme suit :

Coefficient de traînée d'une sphère

	Condition	Expression
Stokes (écoulement de Stokes)	${\displaystyle \mathrm {Re} <1}$	${\displaystyle C_{x}={\frac {24}{\mathrm {Re} }}}$
H.S. Allen (écoulement intermédiaire)	${\displaystyle 1<\mathrm {Re} <10^{3}}$	${\displaystyle C_{x}={\frac {18.5}{\mathrm {Re} ^{0.6}}}}$
Newton (plage sous-critique)	${\displaystyle 10^{3}<\mathrm {Re} <3.10^{5}}$	${\displaystyle C_{x}\approx 0.5}$
Plage supercritique	${\displaystyle \mathrm {Re} >4.10^{5}}$	${\displaystyle C_{x}\approx 0.07}$

Tableau de coefficients de traînée en ordre croissant de formes 3D (à gauche) et 2D[alpha 4] (à droite) à des nombres de Reynolds entre 10⁴ et 10⁶ (sauf mentions particulières - voir les notes sur l'image dans la page de l'image), le flux venant de la gauche[10].

Coefficients de traînée frontaux de corps 3D[alpha 12] (voir les notes sur l'image dans la page de définition de l'image).

Voir ci-contre à gauche le tableau de ${\displaystyle C_{x}}$ dû au mécanicien des fluides Sighard F. Hoerner (en)[10], ainsi que le tableau de droite.

Dans ces deux tableaux, les ${\displaystyle C_{x}}$ sont frontaux, c.-à-d. que leur surface de référence est la surface frontale des corps (à savoir la surface projetée sur un plan normal à la direction de l'écoulement loin du corps).

Toujours dans ces deux tableaux, certains corps, comme la sphère et le cylindre infini présenté en travers de l'écoulement, ont un coefficient de traînée très variable avec le Nombre de Reynolds. Cette variabilité du ${\displaystyle C_{x}}$ s'explique par ce que l'on appelle la crise de traînée.

Automobile

${\displaystyle C_{x}}$ frontaux de corps 3D dont des corps de moindre traînée et leur adaptation à la route.

Voir ci-contre à droite les ${\displaystyle C_{x}}$ frontaux de corps 3D[alpha 12] et leur adaptation à la route.

Pour un tableau de ${\displaystyle C_{x}}$ d'automobiles, voir cet article en anglais : (en).

• S. F. Hoerner, Résistance à l'avancement dans les fluides, Paris, Gauthier-Villars, 1965 (OCLC 727875556, ASIN B07B4HR4HP).
• (en) S. F. Hoerner, Fluid-dynamic drag : theoretical, experimental and statistical information, 1992 (OCLC 228216619, lire en ligne).