Ligne de courant

Considérons à titre d'exemple un fluide s'écoulant dans un tuyau. Plaçons-nous à un instant ${\displaystyle t}$ fixé dans le temps. En chaque point ${\displaystyle {\vec {M}}(x_{1},x_{2},x_{3})}$ du tube, l'écoulement a une certaine orientation indiquée par la direction de son vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {V}}(x_{1},x_{2},x_{3},t)}$, de coordonnées ${\displaystyle V_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},t)}$, ${\displaystyle V_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ et ${\displaystyle V_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ (il s'agit d'une notion de l'approche eulérienne). Une ligne de courant à un instant ${\displaystyle t}$ est la ligne en tout point tangente au vecteur ${\displaystyle {\vec {V}}(x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ (vecteur courant).

En considérant un petit élément ${\displaystyle {\overrightarrow {dx}}}$ parallèle à la ligne de courant, on doit avoir que le produit vectoriel ${\displaystyle {\overrightarrow {dx}}\wedge {\overrightarrow {V}}={\overrightarrow {0}}}$ car les deux vecteurs sont parallèles. Ainsi, en exprimant cette égalité, on obtient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{1}}{V_{1}}}={\frac {\mathrm {d} x_{2}}{V_{2}}}={\frac {\mathrm {d} x_{3}}{V_{3}}}}$.

Les lignes de courant sont données en résolvant cette équation différentielle.

Une surface de courant est formée d'un ensemble de lignes de courant adjacentes[6] ; aucune particule ne peut traverser une surface de courant.

Tube de courant.

On appelle tube de courant toute surface formée de lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé[2]. Par définition, la vitesse normale à la frontière est nulle et il n'y a donc pas de flux traversant les parois latérales ce tube, ce qui justifie que les particules y soient confinées, même si la forme des tubes de courant évolue généralement au cours du temps. En écoulement permanent, le débit entrant dans le tube de courant égale le débit sortant.

Matérialisation des lignes de courant par la poussière.

Dans la nature, les plantes aquatiques donnent de bonnes indications sur la direction locale de l'eau dans un courant (image de gauche) ; cependant, quand ces plantes aquatiques sont longues, elles moyennent d'elles-mêmes les différents vecteurs vitesses de l'eau qui les porte et s'éloignent donc des véritables lignes de courant.
La présence de poussières dans un mouvement d'air permet souvent d'imaginer assez bien les lignes de courant dans ce mouvement (animation de droite).

Lorsqu'un écoulement d'air est stationnaire, une photographie en pause peut capter le mouvement de poussières ou, mieux, de bulles de savon gonflée à l'hélium[7] (voir ci-dessous l'image du tourbillon marginal sur un Cessna), du moins si ces objets sont convenablement éclairés. Si l'écoulement, toujours stationnaire, est un écoulement d'eau, on peut placer dans cet écoulement des paillettes de matériaux brillants dont les reflets pourront être captés par photographie ou vidéo[8] - [9].

Visualisation des trajectoires et lignes de courant par filets de fumée dans une allée de tourbillons de Bénard-Karman derrière un cylindre.

Mais la méthode la plus utilisée est d'émettre dans l'écoulement des filets de fumée comme dans les images ci-dessus à droite et ci-dessous. Dans les tests aérodynamiques d'automobiles, une lance à fumée unique permet d'étudier l'écoulement en rendant visible une unique ligne de courant ; l'observation de ce filet de fumée permet en particulier de vérifier que l'écoulement ne décolle pas à l'arrière du véhicule (image de droite, ci-dessous)[10].

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  Visualisation de l'écoulement sur un modèle de la Schlörwagen.
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  La Schlörwagen (l'avant est à gauche).
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  Vérification de l'écoulement avec une lance à fumée.

Écoulement sur une marche montante et une marche descendante

Trois régimes de la sphère (selon le nombre de Reynolds

La première utilité des lignes de courant est pédagogique : dans un écoulement incompressible, lorsque l'écartement des lignes de courant diminue, la conservation des débits impose que la vitesse locale des particules est augmentée (donc que la pression statique de ces particules est diminuée, en application de la loi de Bernoulli) : près du maître couple d'un corps assez bien profilé (comme une voiture), il y a bien une survitesse (de quelque %) et, conséquemment, une dépression.
D'autre part, la connaissance des lignes de courant permet souvent d'isoler, dans un écoulement, les zones où se développent les tourbillons (comme dans les deux images ci-contre à gauche).

De même, la position des lignes de courant est révélatrice du régime de certain corps, comme la sphère (ci-contre à droite)[11]. Le même phénomène de régime existe pour le cylindre et beaucoup de corps profilés (voir l'article Crise de traînée).

Dans un écoulement stationnaire de fluide parfait (c.-à-d. non visqueux, donc en dehors de la couche limite), l’étude de l’équilibre des particules de fluides permet de démontrer que lorsqu’une ligne de courant est rectiligne la pression au long de cette ligne de courant est constante[12].
Inversement, toujours dans un écoulement stationnaire de fluide parfait, la même étude de l'équilibre des particules fluides permet de démontrer que la pression statique locale décroît lorsque l’on passe d’une ligne de courant à une autre en s’approchant du centre de courbure de ces lignes de courant[13].
On peut mettre en application ce dernier principe physique, par exemple dans l’image montrant ci-dessous les lignes de courant potentielles autour du cylindre : Lorsque l’on descend du milieu de l’image vers le cylindre, on se rapproche du centre de courbure des lignes de courant : la pression statique locale décroît donc (jusqu’au coefficient de pression ${\displaystyle C_{p}=-3}$ à l’épaule du cylindre, comme indiqué sur l'image). Par contre, lorsque l’on part du coin gauche en haut de la photo vers le point d’arrêt amont, on s’éloigne du centre de courbure des lignes de courant, la pression augmente donc (d’un ${\displaystyle C_{p}}$ presque nul, car on est loin du corps, jusqu’au ${\displaystyle C_{p}}$ unitaire au point d’arrêt). Même chose lorsque l’on part du coin droit de l’image et que l’on s’approche du point d’arrêt aval : la pression augmente jusqu’au ${\displaystyle C_{p}}$ unitaire.
D’une façon générale, ce principe vaut également pour les tourbillons d’échelle suffisante mais inférieure à l’échelle météorologique[14] : la pression statique décroît lorsque l’on s’approche de l’axe du tourbillon ; c'est-à-dire qu’au cœur d’un tourbillon règne toujours une dépression (sauf à l’échelle météorologique)[15].

D'autre part, en écoulement stationnaire incompressible, lorsque l'on connaît la vitesse moyenne dans une section donnée d'un tube de courant, la loi de conservation des débits impose une relation simple entre la section locale de ce tube de courant et la vitesse moyenne locale. L'image ci-dessous d'une contraction 2D montre une application de ce principe : La distribution des vitesses avant la contraction étant connue, la distribution des vitesses moyennes dans n'importe quelle autre section peut être calculée d'après l'espacement des lignes de courant au moyen de la formule : ${\displaystyle V_{i}=V_{0}{\frac {\Delta h_{0}}{\Delta h_{i}}}}$ , formule où ${\displaystyle V_{0}}$ est la vitesse moyenne connue dans la section d'indice ${\displaystyle 0}$ d'un tube de courant et ${\displaystyle i}$ est l'indice attaché à la section considérée[16]. Ci-dessous (troisième image) les lignes de courant autour d'un cylindre en rotation ont été matérialisées par de petites particules brillantes (cette image illustre un effet Magnus établi ; le fluide -de l'eau- circule de gauche à droite). En haut à gauche de l'image, deux lignes de courant ont été soulignées en rouge, ce qui forme un tube de courant (l’écoulement est bidimensionnel). La constance du débit dans le tube de courant ainsi défini veut que la vitesse augmente beaucoup entre la section d'entrée bleu clair de gauche et la section de sortie bleu clair de droite. En application du théorème de Bernoulli la pression est donc beaucoup plus faible dans le deuxième section que dans la première (on est en dehors de la couche limite existant autour du cylindre). C'est ce qui explique la création de la force de Magnus : une force vers le haut...

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  Tourbillon marginal sur un Cessna 182 révélé en soufflerie par le mouvement de bulles de savon gonflées à l'hélium.
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  Lignes de courant potentielles autour du cylindre infini exposé transversalement. L'intégration des pressions déterminées par la théorie des écoulements potentiels (écoulement de fluides non visqueux) conduit à une traînée nulle. L'écoulement des fluides réels à l'aval du cylindre est très différent.
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  Ligne de courant dans un effet Magnus établi.
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  Captation des lignes de courant réelles sur un cylindre à tête plate. On observe la formation d'une poche d'eau morte.
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  Lignes de courant dans une contraction 2D. L'espacement entre deux lignes de courant permet de calculer l'évolution de la vitesse dans le tube de courant qu'elles limitent.

Écoulement instationnaire. La ligne rouge représente la trajectoire d'une particule emportée par l'écoulement, la ligne bleue représente une ligne d'émission et les flèches grises la vitesse en tout point du fluide. Les lignes en tirets représentent les lignes de courant dans le fluide qui sont tangentes aux flèches en tout point (version en haute résolution).

Dans un écoulement instationnaire, le vecteur vitesse en un point fixe (par rapport au corps) varie au cours du temps. La ligne de courant ne peut donc plus être confondue avec la trajectoire des particules. C'est le cas dans l'image ci-contre. La ligne d'émission est la ligne que dessine à un instant t un filet de fumée ou de colorant émis dans le courant depuis un point fixe (l'origine des axes, ici). On peut donc facilement capter cette ligne d'émission par photographie. Lorsque l'écoulement est stationnaire, par contre, une ligne d'émission redevient une ligne de courant ainsi qu'une trajectoire de particule.

• (en) Johanna Vogel-Prandtl, Ludwig PANDTL, A PERSONAL BIOGRAPHY DRAWN FROM MEMORIES AND CORRESPONDENCE, Universitätsverlag Göttingen, 2014 (lire en ligne [PDF])

• Champ de vecteurs
• Fonction de courant