Écoulement potentiel

En dynamique des fluides, un écoulement est potentiel lorsque son champ des vitesses ${\displaystyle {\vec {v}}}$ est le gradient d'une fonction scalaire, appelée potentiel des vitesses (généralement noté φ) :

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\nabla }}\varphi }$.

Puisque le rotationnel d'un gradient est toujours égal à zéro, ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi ={\vec {0}}}$, un écoulement potentiel est toujours irrotationnel :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}={\vec {0}}}$.

Les écoulements potentiels servent le plus souvent à décrire des écoulements de fluides parfaits, c'est-à-dire des écoulements où la viscosité peut être négligée, parce qu'un écoulement irrotationnel le reste tant que la viscosité est négligeable (équation d'Euler avec l'hypothèse que le champ de forces extérieures dérive d'un potentiel).

Si l'écoulement est incompressible, la divergence de ${\displaystyle {\vec {v}}}$ est nulle :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}}=0}$.

Le potentiel des vitesses φ est alors une solution de l'équation de Laplace :

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}$,

où ${\displaystyle \nabla ^{2}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}}$ est le laplacien (parfois noté ${\displaystyle \Delta }$).

A deux dimensions, les équations des écoulements potentiels sont très simples et peuvent être étudiées avec les outils de l'analyse complexe.

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