Rotationnel

En réalité, le rotationnel ne peut se décrire rigoureusement que dans le cadre du formalisme des tenseurs. Dans ce contexte, le rotationnel est appliqué sur une forme linéaire ƒ pour former un tenseur d'ordre 2. Ses composantes s'écrivent

${\displaystyle [\operatorname {rot} \;f]_{ab}=\partial _{a}f_{b}-\partial _{b}f_{a}}$.

Cette expression ne fait intervenir que des dérivées ordinaires et non des dérivées covariantes. La différence qui intervient est la même que l'on considère des dérivées ordinaires ou des dérivées covariantes[3]. Cette expression peut être par construction vue comme une matrice antisymétrique. En dimension 3, il existe une correspondance avec les vecteurs (possédant trois composantes) et les matrices antisymétriques (possédant trois composantes indépendantes). On peut donc assimiler cette matrice à un vecteur. Techniquement, la correspondance est faite à l'aide du tenseur de Levi-Civita ε, qui permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs a tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel :

${\displaystyle [\operatorname {rot} \;f]^{c}={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{cab}\left(\partial _{a}f_{b}-\partial _{b}f_{a}\right)}$.

À partir du moment où est définie une métrique g, on peut sans difficulté construire le rotationnel d'un vecteur, en utilisant la métrique pour transformer le vecteur en sa forme linéaire associée puis en utilisant la formule ci-dessus. Ainsi, pour un vecteur a de composantes a^b, on a

${\displaystyle [\operatorname {rot} \;a]^{c}={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{cab}\left(\partial _{a}(g_{bd}a^{d})-\partial _{b}(g_{ad}a^{d})\right)={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{cab}\left(\partial _{a}a_{b}-\partial _{b}a_{a}\right)=\varepsilon ^{cab}\partial _{a}a_{b}}$.

C'est bien sûr cette expression-là qui doit être utilisée pour le calcul du rotationnel dans un système de coordonnées non cartésiennes (par exemple cylindriques ou sphériques, voir plus bas).

Un champ vectoriel dont le rotationnel est nul, est un champ irrotationnel ou champ conservatif.

Pour toute constante c réelle et pour tous champs vectoriels A et B

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge (c\mathbf {A} )=c\ {\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} }$,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge (\mathbf {A} +\mathbf {B} )={\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {B} }$.

Pour tout champ scalaire u[4],

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge (u\;\mathbf {A} )=u{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} +({\boldsymbol {\nabla }}u)\wedge \mathbf {A} }$,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge (\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} +\mathbf {A} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )}$,

où la notation ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})}$ représente un opérateur scalaire sur chaque coordonnée du vecteur auquel il s'applique : ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} _{x}\\\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} _{y}\\\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} _{z}\end{pmatrix}}}$[5] - . C'est la différentielle de ${\displaystyle \mathbf {B} }$ appliquée sur ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}u)={\boldsymbol {0}}\ \ }$, i.e. le rotationnel du gradient est toujours nul,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\ }}\cdot \ ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} )={\boldsymbol {0}}\ \ }$, i.e. la divergence du rotationnel est toujours nulle,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A} }$

(Voir rotationnel du rotationnel)

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge (\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )=\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} )\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{z}}{\partial \theta }}-{\frac {\partial \mathrm {A} _{\theta }}{\partial z}}\right)\mathbf {u_{r}} +\left({\frac {\partial \mathrm {A} _{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {A} _{z}}{\partial r}}\right)\mathbf {u_{\theta }} +{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(r\mathrm {A} _{\theta })-{\frac {\partial \mathrm {A} _{r}}{\partial \theta }}\right)\mathbf {u_{z}} }$.

En choisissant pour convention les notations physiques (conformément au standard ISO 31-11), soit ${\displaystyle (x,y,z)\longrightarrow (r\cos \varphi \sin \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \theta ),0\leq \theta \leq \pi ,0\leq \varphi <2\pi }$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \mathrm {A} _{\varphi })-{\frac {\partial \mathrm {A} _{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {u_{r}} +\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \mathrm {A} _{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r\mathrm {A} _{\varphi })\right)\mathbf {u_{\theta }} +{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(r\mathrm {A} _{\theta })-{\frac {\partial \mathrm {A} _{r}}{\partial \theta }}\right){\boldsymbol {\mathbf {u_{\varphi }} }}}$.