Rotationnel du rotationnel

La démonstration de cette formule se fait par évaluation directe de l'opérateur rotationnel appliqué deux fois. Ainsi, en coordonnées cartésiennes, les composantes du rotationnel d'un vecteur A quelconque s'écrivent :

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}}=\left({\begin{array}{c}\partial _{y}A^{z}-\partial _{z}A^{y}\\\partial _{z}A^{x}-\partial _{x}A^{z}\\\partial _{x}A^{y}-\partial _{y}A^{x}\end{array}}\right)}$.

En appliquant le rotationnel une seconde fois, il vient

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}})=\left({\begin{array}{c}\partial _{y}(\partial _{x}A^{y}-\partial _{y}A^{x})-\partial _{z}(\partial _{z}A^{x}-\partial _{x}A^{z})\\\partial _{z}(\partial _{y}A^{z}-\partial _{z}A^{y})-\partial _{x}(\partial _{x}A^{y}-\partial _{y}A^{x})\\\partial _{x}(\partial _{z}A^{x}-\partial _{x}A^{z})-\partial _{y}(\partial _{y}A^{z}-\partial _{z}A^{y})\end{array}}\right)}$.

En regroupant les termes, on obtient

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}})=\left({\begin{array}{c}-\partial _{yy}A^{x}-\partial _{zz}A^{x}+\partial _{xy}A^{y}+\partial _{xz}A^{z}\\-\partial _{xx}A^{y}-\partial _{zz}A^{y}+\partial _{yz}A^{z}+\partial _{yx}A^{x}\\-\partial _{xx}A^{z}-\partial _{yy}A^{z}+\partial _{zx}A^{x}+\partial _{zy}A^{y}\end{array}}\right)}$.

Dans chacune des composantes i, les termes négatifs correspondent à deux des composantes du laplacien de Aⁱ, auxquelles il manque la dérivée seconde de Aⁱ par rapport à la i^e composante. Ainsi, on a

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}})=\left({\begin{array}{c}-\Delta A^{x}+\partial _{xx}A^{x}+\partial _{xy}A^{y}+\partial _{xz}A^{z}\\-\Delta A^{y}+\partial _{yy}A^{y}+\partial _{yz}A^{z}+\partial _{yx}A^{x}\\-\Delta A^{z}+\partial _{zz}A^{z}+\partial _{zx}A^{x}+\partial _{zy}A^{y}\end{array}}\right)}$.

Outre le terme en laplacien, tous les autres termes de la composante i font intervenir une dérivée seconde qui chaque fois contient au moins une dérivée par rapport à la i^e composante. Par ailleurs, le terme dont on prend la dérivée par rapport à cette i^e coordonnée est toujours le même, et correspond à la divergence de A. On obtient donc comme annoncé

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}})={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}})-\Delta {\boldsymbol {A}}.}$

On peut directement exprimer les composantes d'un rotationnel, de façon formelle, à l'aide du symbole de Levi-Civita ε:

${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}})^{i}=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}A^{k}}$,

en utilisant la convention d'Einstein, c'est-à-dire la sommation implicite sur tous les indices se répétant deux fois d'un côté de l'équation (en l'occurrence ici les indices j et k à droite). Le double rotationnel est ainsi

${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}}))^{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}(\epsilon _{klm}\partial _{l}A^{m})}$.

On utilise ensuite une relation connue sur le produit de deux symboles de Levi-Civita faisant intervenir le symbole de Kronecker δ, soit

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$.

Avec les propriétés d'antisymétrie de ces symboles, on obtient ici

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}$,

ce qui donne

${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}}))^{i}=(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})\partial _{jl}A^{m}}$,

expression que l'on peut simplifier en

${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}}))^{i}=\partial _{mi}A^{m}-\partial _{jj}A^{i}}$.

Le premier terme correspond comme attendu du gradient de la divergence de A et le second au laplacien scalaire de ses composantes, d'où à nouveau la formule

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}})={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}})-\Delta {\boldsymbol {A}}.}$