Identités vectorielles

En convention de sommation d'Einstein on a :

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=a_{i}{\epsilon ^{i}}_{jk}b^{j}c^{k}}$

En permutant deux fois les indices du symbole de Levi-Civita et en réarrangeant les termes on obtient tour à tour les expressions équivalentes suivantes :

Premièrement :

${\displaystyle b^{j}{\epsilon _{jk}}^{i}c^{k}a_{i}=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )}$

Deuxièmement :

${\displaystyle c^{k}{{\epsilon _{k}}^{i}}_{j}a_{i}b^{j}=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

L'identité est ainsi démontrée.

En convention de sommation d'Einstein on a :

${\displaystyle (\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}{\epsilon _{k}}^{lm}b_{l}c_{m}}$

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et du symbole de Kronecker, le membre de droite peut se réécrire comme suit :

${\displaystyle \delta _{i}^{l}\delta ^{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{i}^{m}\delta ^{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=b_{i}a_{j}c^{j}-c_{i}a_{j}b^{j}}$

En explicitant le membre de droite on retrouve l'identité :

${\displaystyle (\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

En convention de sommation d'Einstein on a :

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}b_{k}{\epsilon ^{i}}_{lm}c^{l}d^{m}}$

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et du symbole de Kronecker, le membre de droite peut se réécrire comme suit :

${\displaystyle \delta _{l}^{j}\delta _{m}^{k}a_{j}b_{k}c^{l}d^{m}-\delta _{m}^{j}\delta _{l}^{k}a_{j}b_{k}c^{l}d^{m}=a_{l}c^{l}b_{k}d^{k}-a_{j}d^{j}b_{k}c^{k}}$

Le second membre étant obtenu en simplifiant et réarrangeant les termes. On retrouve dans ce membre de droite l'expression de produits scalaires et on a finalement :

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$

En convention de sommation d'Einstein on a :

${\displaystyle \left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}\partial _{k}\psi }$

En permutant les indices j et k (permutation impaire) on obtient l'expression équivalente :

${\displaystyle {-\epsilon _{i}}^{kj}\partial _{k}\partial _{j}\psi =-\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}}$

Le changement de signe provient de la permutation impaire des indices. On a donc finalement :

${\displaystyle \left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}=-\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}\Leftrightarrow \left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}=0}$

L'identité est ainsi démontrée.

En convention de sommation d'Einstein on a :

${\displaystyle \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)=\partial _{i}{\epsilon ^{i}}_{jk}\partial ^{j}V^{k}}$

En permutant les indices i et j (permutation impaire) on obtient l'expression équivalente :

${\displaystyle -\partial ^{j}{{\epsilon _{j}}^{i}}_{k}\partial _{i}V^{k}=-\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)}$

Le changement de signe provient de la permutation impaire des indices. On a donc finalement :

${\displaystyle \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)=-\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)\Leftrightarrow \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)=0}$

L'identité est ainsi démontrée.

En convention de sommation d'Einstein on a :

${\displaystyle \left(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}{\epsilon _{k}}^{lm}\partial _{l}V_{m}}$

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et celles du symbole de Kronecker, on obtient alors :

${\displaystyle \delta _{i}^{l}\delta ^{jm}\partial _{j}\partial _{l}V_{m}-\delta _{i}^{m}\delta ^{jl}\partial _{j}\partial _{l}V_{m}=\partial _{i}\partial ^{m}V_{m}-\partial _{j}\partial ^{j}V_{i}}$

On retrouve dans le membre de droite de cette dernière expression le gradient de la divergence et le Laplacien. On a donc finalement :

${\displaystyle \left(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}=\left(\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )\right)_{i}-\nabla ^{2}(V_{i})}$

L'identité est ainsi démontrée.

En convention de sommation d'Einstein on a :

${\displaystyle \left(\mathbf {V} \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}V_{j}{\epsilon _{k}}^{lm}\partial _{l}V_{m}}$

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et celles du symbole de Kronecker, on obtient alors :

${\displaystyle (\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{l})V_{j}\partial _{l}V_{m}=V_{j}\partial _{i}V^{j}-V_{j}\partial ^{j}V_{i}}$

L'identité est ainsi démontrée.

En convention de sommation d'Einstein, on a :

${\displaystyle (\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ))_{i}=\partial _{i}(A^{j}B_{j})=\partial _{i}(A^{j}B_{j})+[A^{j}\partial _{j}B_{i}-A^{j}\partial _{j}B_{i}+B_{j}\partial ^{j}A_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}]}$

On a ainsi fait apparaître dans la parenthèse les termes ${\displaystyle A^{j}\partial _{j}B_{i}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}}$ et ${\displaystyle B_{j}\partial ^{j}A_{i}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}}$. Il reste maintenant à montrer que les trois termes restants se combinent pour prendre la forme recherchée. On a, avec la règle du produit,

${\displaystyle \partial _{i}(A^{j}B_{j})-A^{j}\partial _{j}B_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}=\partial _{i}A^{j}B_{j}+A^{j}\partial _{i}B_{j}-A^{j}\partial _{j}B_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}}$

En rassemblant le premier et le dernier terme (et de la même manière le second et le troisième terme) on a:

${\displaystyle B_{j}\partial _{i}A^{j}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}=\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}B_{j}\partial _{l}A_{m}-\delta ^{jl}\delta _{i}^{m}B_{j}\partial _{l}A_{m}}$

où l'on a introduit des ${\displaystyle \delta }$ afin de faire apparaître le terme ${\displaystyle B_{j}\partial _{l}A_{m}}$. En mettant ce terme en évidence, on a:

${\displaystyle (\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}-\delta ^{jl}\delta _{i}^{m})B_{j}\partial _{l}A_{m}=\epsilon _{i}^{jk}\epsilon _{k}^{lm}B_{j}\partial _{l}A_{m}}$

soit finalement ${\displaystyle (\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))_{i}}$. Le second et le troisième terme mentionnés plus haut donnent exactement le même résultat où A et B sont échangés soit ${\displaystyle (\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ))_{i}}$. En rassemblant les résultats précédents, on a finalement:

${\displaystyle (\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ))_{i}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}+(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}+(\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ))_{i}+(\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))_{i}}$

L'identité est ainsi démontrée.

En convention de sommation d'Einstein, on a :

${\displaystyle (\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ))=\partial _{i}({\epsilon ^{i}}_{jk}A^{j}B^{k})}$

La règle du produit étant d'application, ce dernier terme est égal à :

${\displaystyle {\epsilon ^{i}}_{jk}(\partial _{i}A^{j})B^{k}+{\epsilon ^{i}}_{jk}A^{j}(\partial _{i}B^{k})}$

En effectuant une permutation paire d'indice sur le premier terme et une impaire sur le second, on obtient :

${\displaystyle ({{\epsilon _{k}}^{i}}_{j}\partial _{i}A^{j})B^{k}-A^{j}({{\epsilon _{j}}^{i}}_{k}\partial _{i}B^{k})=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )}$

Le changement de signe provient de la permutation impaire d'indice du symbole de Levi-Civita.

L'identité est ainsi démontrée.

En convention de sommation d'Einstein, on a :

${\displaystyle (\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}({\epsilon _{k}}^{lm}A_{l}B_{m})=\epsilon _{i}^{jk}\epsilon _{k}^{lm}(\partial _{j}A_{l}B_{m}+A_{l}\partial _{j}B_{m})}$

où l'on a utilisé la règle du produit. Avec les propriétés du symbole de Levi-Civita ce dernier terme se réécrit

${\displaystyle (\delta ^{il}\delta ^{jm}-\delta ^{im}\delta ^{jl})(\partial _{j}A_{l}B_{m}+A_{l}\partial _{j}B_{m})=\partial _{j}A_{i}B^{j}+A_{i}\partial _{j}B^{j}-\partial _{j}A^{j}B_{i}-A^{j}\partial _{j}B_{i}}$

Le membre de droite peut alors s'écrire comme suit:

${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}+A_{i}(\nabla \cdot \mathbf {B} )-(\nabla \cdot \mathbf {A} )B_{i}-(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}}$

L'identité est ainsi démontrée.