Dérivée covariante

Les vecteurs u et v dans la définition sont définis en un même point P. De même la dérivée covariante ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ est un vecteur défini en P.

La définition d'une dérivée covariante n'utilise pas la métrique de l'espace. Cependant, une métrique définit de manière unique une dérivée covariante particulière appelée la connexion de Levi-Civita. Celle-ci joue donc un rôle privilégié dans les variétés riemaniennes.

Les propriétés de la dérivée impliquent que ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ dépend du voisinage du point P de la même manière que par exemple la dérivée d'une fonction scalaire le long d'une courbe en un point P dépend du voisinage de P.

L'information sur le voisinage du point P peut être utilisée pour définir au moyen d'une dérivée covariante le transport parallèle d'un vecteur, ainsi que la torsion de la variété en P. De même, dans une variété riemannienne, la courbure de la variété, et les géodésiques peuvent être définies uniquement en termes de dérivée covariante utilisant la connexion de Levi-Civita.

Pour une fonction ${\displaystyle f}$ et un vecteur tangent v, la dérivée covariante ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$ correspond à la dérivée de f dans la direction du vecteur v, généralement notée ${\displaystyle {\mathbf {v} }\cdot f}$ ou ${\displaystyle \mathrm {d} f({\mathbf {v} })}$.

Une dérivée covariante ${\displaystyle \nabla }$ est une fonction qui, à tout champ de vecteurs ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$ et ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$, associe un champ de vecteurs ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$, appelé dérivée covariante du champ de vecteurs u dans la direction v, et vérifiant les propriétés suivantes :

1. L'application ${\displaystyle \mathbf {v} \to \nabla _{\mathbf {v} }}$ est ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} )}$-linéaire, ce qui signifie que ${\displaystyle \nabla _{f{\mathbf {v} }+g{\mathbf {w} }}{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+g\nabla _{\mathbf {w} }{\mathbf {u} }}$ pour toute fonction f et g à valeurs réelles définie sur la variété et tout champ de vecteurs ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$, ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ et ${\displaystyle {\mathbf {w} }}$.
2. Pour tout ${\displaystyle \mathbf {v} }$, l'application ${\displaystyle \mathbf {u} \to \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linéaire : ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\alpha \mathbf {u} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} +\beta \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} }$ pour tout réel ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ et tout champ de vecteurs ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$, ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ et ${\displaystyle {\mathbf {w} }}$.
3. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$ obéit aux règles générales de la dérivation concernant le produit du champ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ par une fonction f, c'est-à-dire ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f{\mathbf {u} })=(\nabla _{\mathbf {v} }f)\mathbf {u} +f\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$, où ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$ est définie plus haut.
4. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }-\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }=[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$ où ${\displaystyle [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$ est le crochet de Lie

Noter que ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ au point P dépend des valeurs de u dans un voisinage de P du fait de la troisième propriété, mais uniquement de la valeur de v en P du fait de la première propriété. Ceci signifie que la dérivée covariante n'est pas un tenseur.

Une fois que la dérivée covariante est définie pour les champs de vecteurs, elle peut être étendue aux champs tensoriels en utilisant les identités suivantes où ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle \psi }$ sont deux tenseurs quelconques :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _{\mathbf {v} }\psi ),}$

et si ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle \psi }$ sont deux champs de tenseurs du même ordre alors

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )=\nabla _{\mathbf {v} }\varphi +\nabla _{\mathbf {v} }\psi .}$

La dérivée covariante d'un champ de tenseurs le long d'un vecteur v est à nouveau un champ de tenseur du même type.

Soit des coordonnées ${\displaystyle x^{i},\ i=0,1,2,...}$, tout vecteur tangent peut être décrit à l'aide de ses composantes dans la base ${\displaystyle e_{i}}$ correspondant aux dérivations par rapport à ${\displaystyle x^{i}}$. La dérivée covariante est un vecteur et peut ainsi être exprimée comme la combinaison linéaire Γ^ke_k de tous les vecteurs de base, où Γ^ke_k représente chacune des composantes du vecteur (en notation d'Einstein). Pour décrire la dérivée covariante il suffit de décrire celle de chacun des vecteurs de base e_j le long de e_i.

${\displaystyle \nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}{\mathbf {e} }_{j}=\Gamma ^{k}{}_{ij}{\mathbf {e} }_{k},}$

Les coefficients Γ^k_{i j} sont appelées les symboles de Christoffel. La donnée d'une dérivée covariante définit les coefficients de Christoffel correspondants. Réciproquement, la donnée de coefficients de Christoffel définit la dérivée covariante. En effet, en utilisant ces coefficients pour des vecteurs ${\displaystyle {\mathbf {v} }=v^{i}e_{i}}$ et ${\displaystyle {\mathbf {u} }=u^{i}e_{i}}$ on a :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }=\left(v^{i}u^{j}\Gamma ^{k}{}_{ij}+v^{i}{\partial u^{k} \over \partial x^{i}}\right){\mathbf {e} }_{k},}$

Le premier terme de cette formule décrit la « déformation » du système de coordonnées par rapport à la dérivée covariante, et le second les changements de coordonnées du vecteur u. En particulier

${\displaystyle \nabla _{{\mathbf {e} }_{j}}{\mathbf {u} }=\nabla _{j}{\mathbf {u} }=\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}\right){\mathbf {e} }_{i}}$

La dérivée covariante est la dérivée selon les coordonnées à laquelle on ajoute des termes correctifs décrivant l'évolution des coordonnées.

La dérivée covariante d'un tenseur de type (r,s) par rapport à ${\displaystyle e_{c}}$ est donnée par l'expression :

${\displaystyle (\nabla _{c}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={\frac {\partial }{\partial x_{c}}}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}}$

${\displaystyle +\,\Gamma _{dc}^{a_{1}}T^{d\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\ldots +\Gamma _{dc}^{a_{r}}T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}}$

${\displaystyle -\,\Gamma _{b_{1}c}^{d}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{d\ldots b_{s}}-\ldots -\Gamma _{b_{s}c}^{d}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.}$