Champ de vecteurs

Un champ de vecteurs X est appelé champ de gradient[2] quand il existe une fonction f telle qu'en tout point, X est le gradient de f. On dit encore que X dérive du potentiel f. Dans ce cas, les différents potentiels diffèrent d'une constante.

Dans le plan, si le champ de vecteurs X dérive d'un potentiel f, les lignes de niveau de f, courbes sur lesquelles f est égale à une constante, sont appelées courbes équipotentielles pour le champ de vecteurs. En tout point où le champ est non nul, il est normal aux courbes équipotentielles.

Si le champ de vecteurs est tracé sur un ouvert de l'espace à trois dimensions, on parle de même de surfaces équipotentielles. Plus généralement, en dimension quelconque, on a affaire à des hypersurfaces équipotentielles, auxquelles le champ de vecteurs est normal.

Dans l'espace à trois dimensions, un champ de gradient a toujours un rotationnel nul. La réciproque fait intervenir la topologie de l'ouvert U : si U est simplement connexe, un champ de vecteurs est un champ de gradient si et seulement si son rotationnel est nul.

La notion de circulation est utilisée notamment en physique pour le calcul du travail d'une force.

Soit ${\displaystyle \gamma }$ un chemin tracé sur l'ouvert U, c'est-à-dire un arc paramétré de [a,b] dans U, de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$. La circulation du champ de vecteurs X le long de ${\displaystyle \gamma }$ est

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle X\mid \mathrm {d} l\rangle =\int _{a}^{b}\langle X(\gamma (t))\mid \gamma '(t)\rangle \mathrm {d} t}$

où ${\displaystyle \langle u\mid v\rangle }$ désigne le produit scalaire des vecteurs u et v.

Cette valeur est invariante par changement de paramétrage.

Si le champ dérive d'un gradient f, la circulation ne dépend que des extrémités du chemin

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle \nabla f|\mathrm {d} l\rangle =f(\gamma (b))-f(\gamma (a))}$

C'est notamment le cas d'un champ électrique, car il dérive du potentiel électrique :

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}V=-\nabla V}$

Elle est notamment nulle sur tout lacet (chemin fermé).

Une forme différentielle de degré un et de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ sur U est un champ de formes linéaires, c'est-à-dire une application ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ de U dans le dual E^* de E. Cette notion a une parenté forte avec celle de champ de vecteurs.

En effet, l'espace étant euclidien, le produit scalaire permet de définir un isomorphisme entre E et son dual. Si X est un champ de vecteurs sur U, on peut lui associer la forme différentielle définie en chaque point par

${\displaystyle L(x)=\langle \cdot |X(x)\rangle \qquad {\text{ ce qui signifie }}\qquad \forall Y\in E,\;L(x)(Y)=\langle Y|X(x)\rangle }$

et cette association est une bijection entre champs de vecteurs et formes différentielles d'ordre 1.

En conséquence l'analogie entre les théorèmes concernant formes différentielles et champs de vecteurs n'est pas surprenante : voici un tableau de correspondance.

Remarque : on peut étendre la notion de rotationnel à des dimensions autres que 3.

Courbes intégrales pour l'équation du pendule simple dans l'espace des phases (y,y').

Au champ de vecteurs X tracé sur l'ouvert U, on peut associer l'équation différentielle ${\displaystyle \gamma '=X(\gamma )}$. Les fonctions solutions sont les arcs paramétrés ${\displaystyle \gamma }$ de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ sur un intervalle I et tels que

${\displaystyle \forall x\in I,\qquad \gamma '(x)=X(\gamma (x))}$

C'est-à-dire que le vecteur dérivé en chaque point est donné par le champ en ce point.

Les solutions maximales de cette équation différentielle sont appelées courbes intégrales du champ de vecteurs[3]. Elles sont tangentes en chaque point au champ de vecteurs. Dans le cas d'un champ de gradient, elles sont donc orthogonales aux lignes ou surfaces de niveau. La fonction qui à t, x associe le point qui était en position x à l'instant 0 est appelée le flot de l'équation différentielle.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence et l'unicité d'une solution maximale pour chaque couple de conditions initiales (t₀,x₀). Il s'appliquerait même si le champ était seulement une fonction lipschitzienne.