Fibré tangent

Le fibré tangent apparait en particulier comme le domaine de définition de la dérivée d'une fonction différentiable sur M : si ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ est une application différentiable entre deux variétés différentielles M et N, alors sa dérivée est une fonction ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$.

Supposons que ${\displaystyle M}$ soit une sous-variété de classe ${\displaystyle C^{k}}$ (k ≥ 1) et de dimension d de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ ; on peut voir alors ${\displaystyle TM}$ comme l'ensemble des couples ${\displaystyle (x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ formés d'un point ${\displaystyle x\in M}$et d'un vecteur ${\displaystyle v}$ tangent à ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle x}$. (Passer à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe ${\displaystyle C^{k-1}}$ et de dimension 2d de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$. En effet, pour tout point de ${\displaystyle M}$, il existe un ouvert ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ et une submersion ${\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} ^{n-d}}$ (de classe ${\displaystyle C^{k}}$) tels que ${\displaystyle U\cap M=f^{-1}(0)}$. On en déduit que

${\displaystyle T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times \mathbb {R} ^{n},f(x)=0\ \mathrm {et} \ f^{\prime }(x)\cdot v=0\}}$

Mais l'application ${\displaystyle (x,v)\mapsto {\big (}f(x),f^{\prime }(x)\cdot v{\big )}}$ est une submersion de classe ${\displaystyle C^{k-1}}$ de ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2(n-d)}}$

Exemple : Le fibré tangent au cercle ${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x^{2}+y^{2}=1\}}$ apparaît ainsi comme la sous-variété

${\displaystyle \{(x,y,X,Y)\in \mathbb {R} ^{4},x^{2}+y^{2}=1,xX+yY=0\}}$.

Il est difféomorphe au cylindre ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$ (voir ci-contre).

En dimensions supérieures, il devient plus difficile de visualiser les fibrés tangents ; ainsi pour une variété de dimension 2, le fibré tangent correspondant est une variété de dimension 4. Ainsi dans le cas du théorème de la boule chevelue, le fibré tangent à la sphère est non trivial.

On définit une topologie sur ${\displaystyle TM}$ en tant qu'espace fibré en se donnant pour chaque ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle M}$ une trivialisation locale

${\displaystyle \varphi _{U}\left\{{\begin{matrix}TM&\rightarrow &U\times V\\m&\mapsto &(P_{U}(m),v_{U}(m))\end{matrix}}\right.}$

où ${\displaystyle V}$ est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à ${\displaystyle M}$ en n'importe quel ${\displaystyle P\in U}$ et pour chaque ${\displaystyle m\in TM}$, ${\displaystyle v_{U}(m)}$ appartient à l'espace tangent à ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle P_{U}(m)}$ .

Par ailleurs ${\displaystyle \varphi _{U}}$ doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si ${\displaystyle P_{0}=P(m)\in U_{1}\cap U_{2}}$ où ${\displaystyle U_{1}\,}$ et ${\displaystyle U_{2}\,}$ sont des ouverts associés à des cartes ${\displaystyle x_{1}^{\mu }}$ et ${\displaystyle x_{2}^{\mu }}$ alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs ${\displaystyle v_{U_{1}}}$ et ${\displaystyle v_{U_{2}}}$)

${\displaystyle v_{U_{2}}^{\mu }(m)=\left.{\frac {\partial x_{2}^{\mu }}{\partial x_{1}^{\nu }}}\right|_{P_{0}}v_{U_{1}}^{\nu }(m)}$

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel) est une fonction associant à chaque point d'une variété un vecteur tangent en ce point. Un tel champ de vecteurs est donc une fonction différentiable prenant ses valeurs dans le fibré tangent :

${\displaystyle {\begin{aligned}V:M&\rightarrow TM\\x&\mapsto (x,V_{x})\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$ est un vecteur de l'espace tangent à M en x. En d'autres termes ce champ est une section de l'espace fibré TM.

L'ensemble des champs vectoriels sur M est noté ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ou ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$. Il peut être muni d'une opération d'addition définie par ${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$ et d'une multiplication par une fonction f à valeurs réelles différentiable sur M : ${\displaystyle (f\cdot V)_{x}=f(x)V_{x}}$. Ces opérations lui donnent une structure de module sur l'anneau des fonctions différentiables à valeurs réelles sur M.

Un champ vectoriel local est un champ défini localement sur un ouvert U de M, associant à chaque point de U un vecteur de l'espace tangent correspondant. L'ensemble des champs de vecteurs locaux de M forme un faisceau des espaces vectoriels réels sur M.

Fibré cotangent